Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在上是減函數，求實數的取值范圍；

（2）令，是否存在實數，使得當時，函數的最小值是3？若存在，求出實數的值；若不存在，說明理由；

（3）當時，證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，（3）見解析

【解析】

（1）先求導可得,則可將問題轉化為在上恒成立,即在上恒成立,設,求得,即可求解；

（2）先對求導,再分別討論,,時的情況,由最小值為3,進而求解；

（3）令,結合（2）中知的最小值為3.再令并求導,再由導函數在大于等于0可判斷出函數在上單調遞增,從而可求得最大值也為3,即有成,，即成立,即可得證.

（1）解:在上恒成立,

即在上恒成立,

所以在上恒成立,

設,則在上單調遞減,所以

所以

（2）解:存在,

假設存在實數,使有最小值3,

①當時,,則在上單調遞減,

所以,解得（舍去）；

②當時,當,則；當,則,

所以在上單調遞減,在上單調遞增,

∴,解得,滿足條件；

③當時,,則在上單調遞減,

所以,解得（舍去）,

綜上,存在實數,使得當時有最小值3.

（3）證明:令,由（2）知,,

令,則,

當時,,則在上單調遞增,

∴

∴,

即．