Question

【題目】設函數．

（1）當時，函數與在處的切線互相垂直，求的值；

（2）若函數在定義域內不單調，求的取值范圍；

（3）是否存在正實數，使得對任意正實數恒成立？若存在，求出滿足條件的實數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）；（3）．

【解析】

試題分析：(1)本小題主要利用導數的幾何意義，求出切線斜率；當時，，可知在處的切線斜率，同理可求得，然后再根據函數與在處的切線互相垂直，得，即可求出結果．

(2)易知函數的定義域為，可得，由題意，在內有至少一個實根且曲線與x不相切，即的最小值為負，由此可得，進而得到，由此即可求出結果. (3)令，可得，令，則，所以在區間內單調遞減，且在區間內必存在實根，不妨設，可得，(*)，則在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，

∴，，將(*)式代入上式，得．使得對任意正實數恒成立，即要求恒成立，然后再根據基本不等式的性質，即可求出結果．

試題解析：

(1)當時，，

∴在處的切線斜率，

由，得，∴，∴．

(2)易知函數的定義域為，

又，

由題意，得的最小值為負，

∴．(注：結合函數圖象同樣可以得到)，

∴

∴，∴；

(3)令，其中，

則，

則，

則，

∴在區間內單調遞減，且在區間內必存在實根，不妨設，

即，可得，(*)

則在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，

∴，，

將(*)式代入上式，得．

根據題意恒成立，

又∵，當且僅當時，取等號，

∴，

∴，代入(*)式，得，

即，又，

∴，∴存在滿足條件的實數，且．

點睛:對于含參數的函數在閉區間上函數值恒大于等于或小于等于常數問題,可以求函數最值的方法, 一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，然后再構造輔助函數，利用恒成立；恒成立，即可求出參數范圍.