Question

P、Q、M、N四點都在中心為坐標原點，離心率e=

2

2

，左焦點F（-1，0）的橢圓上，已知

PF

 與 

FQ

 共線， 

MF

與

FN

 共線，

PF

•

MF

=0，求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值．

Answer 1

分析：先根據已知條件求出橢圓方程，再設PQ的方程為ky=x+1，聯立橢圓方程以及弦長公式求出|PQ|的長，當k≠0時，同樣的方法求出MN的長；直接代入對角線互相垂直的四邊形的面積計算公式結合函數的單調性即可求出面積的取值范圍； 當k=0時，面積為定值；綜合即可得到結論．

解答：解：橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
∵

PF

•

MF

=0，PQ⊥MN．
設PQ的方程為ky=x+1，代入橢圓方程消去x得（2+k²）y²-2ky-1=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₁，y₁），
則|PQ|=

1+k2

|y1-y2|=

1+k2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+k2

( 2k 2+k2 )2+4 1 2+k2

=

2 2 (1+k2)

2+k2

．
（Ⅰ）當k≠0時，MN的斜率為-

1

k

，同理可得|MN|=

2 2 (1+ 1 k2 )

2+ 1 k2

，
故四邊形面積S=

1

2

|PQ||MN|=

4(2+k2+ 1 k2 )

5+2k2+ 2 k2

．
令u=k2+

1

k2

，則u≥2，即S=

4(2+u)

5+2u

=2(1-

1

5+2u

)
當k=±1時，u=2，S=

16

9

．且S是以u為自變量的增函數，
∴

16

9

≤S＜2．
（Ⅱ） 當k=0時，MN為橢圓的長軸，|MN|=2

2

，|PQ|=

2

，S=

1

2

|PQ||MN|=2
綜合（Ⅰ） （Ⅱ）知，四邊形PQMN面積的最大值為2，最小值為

16

9

．

點評：本題主要考查橢圓與直線的位置關系．在求直線與圓錐曲線的綜合問題時，一般是聯立直線與圓錐曲線方程，再結合韋達定理，弦長公式等來解題．