Question

P，Q，M，N四點都在橢圓x2+

y2

2

=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點．已知

PF

與

FQ

共線，

MF

與

FN

共線，且

PF

•

MF

=0．求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值．

Answer 1

分析：由題設條件可知MN⊥PQ．設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，MN的方程為y=1，PQ的方程為x=0，由題設條件能夠推出四邊形PMQN的面積為

1

2

，|MN|•|PQ|=

1

2

×

2

×2

2

=2．當MN，PQ都不與坐標軸垂直時，根據題設條件能夠推導出|MN|=

2 2 (1+k2)

k2+2

，|PQ|=

2 2 (1+k2)

2k2+1

，所以S_{四邊形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(1-

1

2(k2+1/k2)+5

)≥

16

9

，由此入手結合題設條件能夠導出（S_{四邊形PMQN}）_max=2，（S_{四邊形PMQN}）_min=

16

9

．

解答：解：∵

PF

•

MF

=0?

PF

⊥

MF

．即MN⊥PQ．
當MN或PQ中有一條直線垂直于x軸時，另一條直線必垂直于y軸．
不妨設MN⊥y軸，則PQ⊥x軸，
∵F（0，1）
∴MN的方程為：y=1，PQ的方程為：x=0
分別代入橢圓x2+

y2

2

=1中得：|MN|=

2

，|PQ|=2

2

．
S_{四邊形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

×

2

×2

2

=2
當MN，PQ都不與坐標軸垂直時，
設MN的方程為y=kx+1（k≠0），
代入橢圓x2+

y2

2

=1中得：（k²+2）x²+2kx-1=0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁•x₂=-

1

k2+2

∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 2k k2+2 )2+ 4 k2+2 ]

=

2 2 (1+k2)

k2+2

同理可得：|PQ|=

2 2 (1+k2)

2k2+1

，
S_{四邊形PMQN}=

1

2

|MN|•|PQ|=2×

2k4+4k2+2

2k4+5k2+2

=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)=2(1-

1

2(k2+1/k2)+5

)≥

16

9

（當且僅當k2=

1

k2

即k=±1時，取等號）．
又S_{四邊形PMQN}=2(1-

k2

2k4+5k2+2

)＜2，∴此時

16

9

≤S_{四邊形PMQN}＜2．
綜上可知：（S_{四邊形PMQN}）_max=2，（S_{四邊形PMQN}）_min=

16

9

．

點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用和直線與橢圓的位置關系，解題昌要認真審題，仔細解答，避免錯誤．