Question

【題目】已知函數（）.

（1）求函數的極值；

（2）當時，若函數有兩個極值點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）先求導，然后利用導數去求解函數的極值；

（2）由（1）先求出兩個極值點的具體值，然后再代入求得的表達式，化簡后通過構造函數求得其單調性，即可證明結論.

（1）由題意可得，

當時，，函數的單調性和極值如表：

		－1
	+	0	－	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴，，

當時，，，函數在上單調遞增，

無極值，

當時，，函數的單調性和極值如表：

				－1
	+	0	－	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴，

，

綜上所述，當時，函數的極大值為，極小值為，

當時，無極值，

當時，函數的極大值為，極小值為；

（2）由題意得，即，

由（1）可知，，

∴，

，

∴，

令，則，

∴在上單調遞減，

∴，即.

∵，∴.