Question

【題目】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，且離心率為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設經過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0，y0)，求y0的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)＋＝1. (2)

【解析】

試題解：(Ⅰ)設橢圓C的半焦距是c.依題意，得c＝1.

因為橢圓C的離心率為，

所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3.

故橢圓C的方程為＋＝1.

(Ⅱ)當MN⊥x軸時，顯然y0＝0.

當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為

y＝k(x－1)(k≠0)．

由

消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，線段MN的中點為Q(x3，y3)，

則x1＋x2＝.

所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.

線段MN的垂直平分線的方程為

y＋＝－.

在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.

當k<0時，＋4k≤－4；當k>0時，＋4k≥4.

所以－≤y0<0或0<y0≤.

綜上，y0的取值范圍是.