Question

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且2（a²+b²-c²）=3ab，
（1）求cosC；
（2）若c=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意得，2（a²+b²-c²）=3ab，即（a²+b²-c² ）=

3ab

2

，則由余弦定理可得cosC=

a2+b2-c2

2ab

 的值．
（2）當(dāng)c=2時，由基本不等式可得 a²+b²-4=

3

2

ab≥2ab-4，ab≤8，故S_△ABC=

1

2

absinC=

7

8

ab≤

7

．

解答：解：（1）由題意得，2（a²+b²-c²）=3ab，∴（a²+b²-c² ）=

3ab

2

，則由余弦定理可知，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

．
（2）當(dāng)c=2時，a²+b²-4=

3

2

ab≥2ab-4，∴

1

2

ab≤4，即ab≤8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2

2

時取等號，而cosC=

3

4

，∴sinC=

7

4

，
從而S_△ABC=

1

2

absinC=

7

8

ab≤

7

，即面積得最大值為

7

．

點評：本題考查余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，求出ab≤8，是解題的關(guān)鍵．