Question

【題目】已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于兩點，且.

（1）求該拋物線的方程；

（2）已知拋物線上一點，過點作拋物線的兩條弦和，且，判斷直線是否過定點？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點

【解析】試題分析：（1）利用點斜式設直線直線的方程,與拋物線聯立方程組,結合韋達定理與弦長公式求,再根據解得.（2）先設直線方程, 與拋物線聯立方程組,結合韋達定理化簡，得或,代入方程可得直線過定點

試題解析：（1）拋物線的焦點 ，∴直線的方程為: .

聯立方程組，消元得: ，

∴.

∴

解得.

∴拋物線的方程為： .

（2）由（1）可得點，可得直線的斜率不為0，

設直線的方程為： ，

聯立，得，

則①.

設，則.

∵

即，得： ，

∴，即或，

代人①式檢驗均滿足，

∴直線的方程為： 或.

∴直線過定點（定點不滿足題意，故舍去）.