Question

【題目】已知函數．

（1）若在處的切線方程為，求實數的值；

（2）證明：當時，在上有兩個極值點；

（3）設，若在上是單調減函數（為自然對數的底數），求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）對函數求導，通過切線的斜可求出的值，把切點代入切線方程可求出的值；

（2）將原問題轉化為在上有兩個變號零點，再對求導，判斷其在上的單調性，然后結合零點存在定理證明；

（3）先將函數整理成，，令，通過求導、換元和構造函數可證明函數在上單調遞增．然后分①，②和③三類情況，分別討論在滿足在上是單調減函數的情形下的取值范圍．

（1），，解得：，

又，，解得：；

（2），

在上有兩個極值點等價于在上有兩個變號零點，

，

當時，；當時，；

在上單調遞減，在上單調遞增，，

又，，

在和上各有一個變號零點，

在上有兩個極值點；

（3），，

令，則，

令，設，，則，

在上單調遞增，，

即當時，，，在上單調遞增.

①當時，，

在上是減函數，，

令，

則恒成立，在上單調遞減，

，解得：；

②當，即時，，

由①知：，

在上是減函數，恒成立，

即對恒成立，

令，，

則，

在上單調遞減，，

，又，；

③若，在上單調遞增，

，

存在唯一的使得，此時，

而，，在上不單調，不合題意；

綜上所述：實數的取值范圍為.