Question

【題目】無線電技術在航海中有很廣泛的應用，無線電波可以作為各種信息的載體．現有一艘航行中的輪船需要與陸地上的基站進行通信，其連續向基站拍發若干次呼叫信號，每次呼叫信號被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信號后立即向輪船拍發回答信號，回答信號一定能被輪船收到．

（Ⅰ）若要保證基站收到信號的概率大于0.99，求輪船至少要拍發多少次呼叫信號．

（Ⅱ）設（Ⅰ）中求得的結果為．若輪船第一次拍發呼叫信號后，每隔5秒鐘拍發下一次，直到收到回答信號為止，已知該輪船最多拍發次呼叫信號，且無線電信號在輪船與基站之間一個來回需要16秒，設輪船停止拍發時，一共拍發了次呼叫信號，求的數學期望（結果精確到0.01）．

參考數據：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）21次（Ⅱ）7.91

【解析】

（Ⅰ）設“輪船拍發次呼叫信號，基站至少收到1次信號”為事件，則，因而可知其對立事件滿足，根據獨立事件概率公式即可得及的值，即可做出判斷.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，根據拍發間隔時間及信號在輪船與基站之間一個來回時間可得停止拍發時輪船一共拍發了次呼叫信號，進而可得隨機變量的分布列，根據數學期望公式，結合錯位相減法即可得解.

（1）設“輪船拍發次呼叫信號，基站至少收到1次信號”為事件，則其對立事件表示“輪船拍發次呼叫信號，基站收到0次信號”，其中為正整數．

要使，則需．

由題可知．

因為，

而，

又因為，所以，即輪船至少要拍發21次呼叫信號．

（Ⅱ）若第1次呼叫信號就被基站收到，則輪船16秒后會收到回答信號從而停止拍發，16秒內輪船會繼續拍發3次，即一共拍發了4次呼叫信號；

若前次呼叫信號都沒有被基站收到，第次呼叫信號被基站收到，與上面同理，停止拍發時輪船一共拍發了次呼叫信號；

若前17次呼叫信號都沒有被基站收到，輪船會拍發21次后停止，

所以隨機變量的分布列如下：

	4	5	6	…	19	20	21
	0.2			…

所以

，

所以．

，

兩式相減得

所以．