Question

【題目】對于若數列滿足則稱這個數列為“數列”.

（Ⅰ）已知數列1, 是“數列”,求實數的取值范圍;

（Ⅱ）是否存在首項為的等差數列為“數列”,且其前項和使得恒成立?若存在,求出的通項公式;若不存在,請說明理由;

（Ⅲ）已知各項均為正整數的等比數列是“數列”,數列不是“數列”,若試判斷數列是否為“數列”,并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題目中所定義的“數列”，只需同時滿足，解不等式可解m范圍。（2）由題意可知，若存在只需等差數列的公差，即< ,代入n=1,n>1,矛盾。（3）設數列的公比為則， ，滿足“數列”，即只需最小項即不是“數列”,且為最小項,

所以即,所以只能只有解或分兩類討論數列。

試題解析：（Ⅰ）由題意得

解得

所以實數的取值范圍是

（Ⅱ假設存在等差數列符合要求,設公差為則

由得

由題意,得對均成立,即

①當時,

②當時,

因為

所以與矛盾,

所以這樣的等差數列不存在.

（Ⅲ）設數列的公比為則

因為的每一項均為正整數,且

所以在中,“”為最小項.

同理, 中,“”為最小項.

由為“數列”,只需即

又因為不是“數列”,且為最小項,

所以即,

由數列的每一項均為正整數,可得

所以或

①當時, 則

令則

又

所以為遞增數列,即

所以

所以對于任意的都有

即數列為“數列”.

②當時, 則

因為

所以數列不是“數列”.

綜上:當時,數列為“數列”,

當時, 數列不是“數列”.