Question

【題目】將所有平面向量組成的集合記作，是從到的對應關系，記作或，其中、、、都是實數，定義對應關系的模為：在的條件下的最大值記作，若存在非零向量，及實數使得，則稱為的一個特殊值；

（1）若，求；

（2）如果，計算的特征值，并求相應的；

（3）若，要使有唯一的特征值，實數、、、應滿足什么條件？試找出一個對應關系，同時滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值，②，并驗證滿足這兩個條件.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 當時,;當時, .其中且；(3) ,證明見解析

【解析】

(1)由新定義得,再利用得即可.

(2)由特征值的定義可得,由此可得的特征值,及相應的

(3) 解方程組,再利用平行向量的方法求解證明即可.

(1)由于此時,又因為是在的條件下,有,當時取最大值,所以此時有;

(2)由,可得：,

解此方程組可得：,從而.

當時,解方程組,此時這兩個方程是同一個方程,所以此時方程有無窮多個解,為 (寫出一個即可),其中且.

當時,同理可得,相應的 (寫出一個即可),其中且 (3)解方程組,可得從而向量與平行,從而有、、、應滿足：.

當時,有唯一的特征值,且.具體證明為：

由的定義可知：,所以為特征值.

此時滿足：,所以有唯一的特征值.

在的條件下,從而有.