Question

【題目】如圖，已知拋物線和點，過點作直線分別交于，兩點，為線段的中點，為拋物線上的一個動點.

（1）當時，過點作直線交于另一點，為線段的中點，設，的縱坐標分別為，.求的最小值；

（2）證明：存在的值，使得恒成立.

Answer 1

【答案】（1）的最小值為4；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意設出直線與拋物線聯立，根據韋達定理及中點坐標公式表示出，的縱坐標，根據基本不等式即可的最小值；

（2）分不經過點Q和經過點Q，不經過時根據題意可得，由（1）聯立方程及韋達定理可得關于的方程，根據方程恒成立即可得到的值，再驗證經過點Q即可.

（1）因為分別交于A、B兩點，所以不平行于軸.

設，，

聯立與C方程，得，

且

由韋達定理可得.

因為分別交于A、B兩點，所以不平行于軸，即，

又因為，設，

聯立與C方程，得，且，

因為N為線段QD的中點，由韋達定理，，

所以，當時取到等號.

故的最小值為4.

（2）當不經過點Q時，等價于，即，

設，，

由（1）聯立方程可得韋達定理，

又，同理，

所以

于是，，將(*)式代入整理得，

要使該式恒成立，則，解得.

又經檢驗，當經過點Q時，仍然成立、

所以，存在，使得恒成立.