Question

【題目】已知函數．

Ⅰ若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的單調區間；

Ⅱ若對于都有成立，試求a的取值范圍；

Ⅲ記當時，函數在區間上有兩個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】解: (I) 直線的斜率為1.

函數的定義域為，

因為，所以，所以.

所以..

由解得；由解得.

所以的單調增區間是,單調減區間是. ……………………4分

(II)，

由解得；由解得.

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

所以當時，函數取得最小值，.

因為對于都有成立，

所以即可.

則. 由解得.

所以的取值范圍是. ………………………………8分

(III)依題得，則.

由解得；由解得.

所以函數在區間為減函數，在區間為增函數.

又因為函數在區間上有兩個零點，所以

解得.

所以的取值范圍是. ……………………………………13分

【解析】

Ⅰ求出函數的定義域，在定義域內，求出導數大于0的區間，即為函數的增區間，求出導數小于0的區間即為函數的減區間；Ⅱ根據函數的單調區間求出函數的最小值，要使恒成立，需使函數的最小值大于，從而求得a的取值范圍；Ⅲ利用導數的符號求出單調區間，再根據函數在區間上有兩個零點，得到，解出實數b的取值范圍．

Ⅰ直線的斜率為1，函數的定義域為，

因為，所以，，所以，．

所以，，由 解得；由解得．

所以的單調增區間是，單調減區間是．

Ⅱ ，由,解得；由解得．

所以，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．

所以，當時，函數取得最小值，因為對于都有成立，

所以，即可則由解得．

所以，a的取值范圍是．

Ⅲ依題得，則．

由解得； 由解得．

所以函數在區間為減函數，在區間為增函數．

又因為函數在區間上有兩個零點，所以，

解得所以，b的取值范圍是．