Question

【題目】已知橢圓：，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向橢圓作兩條切線，當(dāng)兩條切線相互垂直時(shí)，點(diǎn)在一個(gè)定圓上運(yùn)動(dòng)，則該定圓的方程為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)點(diǎn)，分兩種情況討論，一是直線的斜率存在且非零時(shí)，得出；二是當(dāng)直線的斜率不存在或斜率等于零時(shí)，P也符合上述關(guān)系，從而求得結(jié)果.

設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則有直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得：，

整理得：，

因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以，

即，

，

因橢圓外一點(diǎn)所引的兩條切線互相垂直，則有，

而為方程的兩根，

故，整理得：；

當(dāng)直線的斜率不存在或斜率等于零時(shí)，易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，顯然也滿足方程，

綜合以上討論得，對(duì)任意的兩條互相垂直的切線，點(diǎn)P的坐標(biāo)均滿足方程，

故所求的定圓的方程為.