Question

【題目】已知橢圓:上任意一點到兩個焦點的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設中點為，中點為，試探究直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）過定點，.

【解析】

（1）和直接計算即可.(2) 若直線斜率存在且不為0．設直線的方程為，與橢圓方程聯立，用中點坐標公式表示出，同理，求出直線的方程為過定點；

當直線斜率不存在或為0時，直線即為軸，也過點．

解：（1）由題意知，所以．

又，知．

所以，所以．

故橢圓的方程為．

（2）若直線斜率存在且不為0．設直線的方程為，

與橢圓方程聯立得，

顯然，設，坐標分別為，，中點坐標為，

則，，

即．

同理可得，，

．

直線的方程為，

整理得．

當直線斜率不存在或為0時，直線即為軸，也過點．

綜上，直線過定點．