Question

已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由原函數的解析式，我們易求出函數的導函數，進而根據導函數的零點對函數的定義域進行分段討論后，即可得到答案．
（Ⅱ）由f'（x）=lnx+1，知f（x）=xlnx在（x₀，x₀lnx₀）處的切線方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），由切線l過點（0，-1），解得x₀=1，由此能求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵當f'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，如下表

∴f（x）在（0，

1

e

）上單調遞減，在（

1

e

，+∞）上單調遞增，在x=

1

e

處取得極小值，
且極小值為f（

1

e

）=-

1

e

．
（Ⅱ）∵f'（x）=lnx+1，
∴f（x）=xlnx在（x₀，x₀lnx₀）處的切線方程為y-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（x-x₀），
∵切線l過點（0，-1），
∴-1-x₀lnx₀=（lnx₀+1）（-x₀），
解得x₀=1，
∴直線l的方程為：y=x-1．

點評：本題考查曲線的切線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的合理運用．