Question

已知數列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N^•）．記S_n=a₁+a₂+…+a_n．Tn=

1

1+a1

+

1

(1+a1)(1+a2)

+…+

1

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

．
求證：當n∈N^•時，
（Ⅰ）a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）S_n＞n-2．

Answer 1

分析：（1）對于n∈N^•時的命題，考慮利用數學歸納法證明；
（2）由a_k+1²+a_k+1-1=a_k²，對k取1，2，…，n-1時的式子相加得S_n，最后對S_n進行放縮即可證得．

解答：（Ⅰ）證明：用數學歸納法證明．
①當n=1時，因為a₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂．
②假設當n=k（k∈N^*）時，a_k＜a_k+1，
因為a_k+1²-a_k²=（a_k+2²+a_k+2-1）-（a_k+1²+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2．
即當n=k+1時，a_n＜a_n+1也成立．
根據①和②，可知a_n＜a_n+1對任何n∈N^*都成立．

（Ⅱ）證明：由a_k+1²+a_k+1-1=a_k²，k=1，2，…，n-1（n≥2），
得a_n²+（a₂+a₃+…+a_n）-（n-1）=a₁²．
因為a₁=0，所以S_n=n-1-a_n²．
由a_n＜a_n+1及a_n+1=1+a_n²-2a_n+1²＜1得a_n＜1，
所以S_n＞n-2．

點評：本題主要考查數列的遞推關系，數學歸納法、不等式證明等基礎知識和基本技能，同時考查邏輯推理能力．