Question

近年來，人類發射的多枚火星探測器已經相繼在火星著陸，正在進行著激動人心的科學探究，為我們將來登上火星、開發和利用火星奠定了堅實的基礎．如果火星探測器環繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T₁，火星半徑為R₁．在地球表面附近，擺長為L的單擺做簡諧運動的周期為T₂，地球半徑為R₂．則火星的平均密度ρ₁與地球的平均密度ρ₂之比

ρ1

ρ2

為（　　）

• A．

  T 2 2

  T 2 1

• B．

  T 2 1 R1

  T 2 2 R2

• C．

  T 2 2 L

  T 2 1 R1

• D．

  T 2 2 R2

  T 2 1 L

Answer 1

分析：由火星探測器環繞火星做“近地”勻速圓周運動的周期和火星的半徑，依據萬有引力提供向心力，可以得到火星的質量，進而可表示火星密度；由地球表面附近單擺的簡諧運動可以得到地球重力加速度，再由地面萬有引力等于重力可得地球質量，進而可得地球的密度，可知火星與地球的密度之比．

解答：解：設火星質量為M₁，地球質量為M₂，火星探測器環繞火星做“近地”勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力可得：
G

M1m

R12

=mR1

4π2

T12

；
解得：
M1=

4π2R13

GT12

；
故火星的密度為：
ρ1=

M1

V1

=

4π2R13 GT12

4πR13 3

=

3π

GT12

；
在地球表面附近，擺長為L的單擺做簡諧運動的周期為T₂，可知：
T2=2π

L g

；
由黃金代換可得：
GM2=gR22；
由以上兩式解得：
M2=

4π2LR22

GT22

；
故地球密度為：
ρ2=

M2

V2

=

4π2LR22 GT22

4πR23 3

=

3πL

GR2T22

；
可知火星的平均密度ρ₁與地球的平均密度ρ₂之比：

ρ1

ρ2

=

3π GT12

3πL GR2T22

=

T 2 2 R2

T 2 1 L

．
故ABC錯誤，D正確．
故選：D．

點評：首先掌握基本的萬有引力提供向心力的各種表達式，并能依據給定的已知量靈活應用；其次要知道單擺的周期表達式，這是本題的重點．