Question

如圖甲所示，水平直線MN下方有豎直向上的勻強電場，其變化規律如圖乙所示，電場強度E0=

22500

π

V/m，現將一重力不計、比荷

q

m

=10⁶ C/kg的帶電粒子從電場中的C點由靜止釋放，經t1=

π

15

×10-5s的時間粒子通過MN上的D點進入勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度B按圖丙所示規律變化．（計算結果均可保留π）

（1）求粒子到達D點時的速率；
（2）求磁感應強度B_l=0.3T時粒子做圓周運動的周期和半徑；
（3）若在距D點左側d=21cm處有一垂直于MN的足夠大的擋板ab，求粒子從C點運動到擋板時所用的時間；
（4）欲使粒子垂直打在擋板ab上，求擋板ab與D點的距離所滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中被加速運動，由運動與力的關系可求出初速度．當進入磁場時，洛倫茲力提供向心力使其做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可算出軌道半徑與周期．
（2）當粒子被電場直線加速后垂直進入磁場做半圓運動，接著又減速進入電場后再被加速進入磁場做半徑不同的半圓運動，這樣周而復始最終垂直打到擋板上．
（3）根據到擋板的距離可以確定完成幾個周期及在電場中加速與減速的時間，最終求出總時間．
（4）粒子有可能半徑大的垂直打到擋板，也可能半徑小的打到板上；也可能完成

1

4

后打到擋板上，也可能完成1

1

4

，也可能更多．從而根據垂直打到擋板的要求可確定滿足間距的條件．

解答：解：（1）粒子在電場中做勻加速直線運動，則有
qE=ma 
v₀=at₁  
解得v0=1.5×104m/s
 （2）設磁感應強度B₁=0.3T時，粒子運動的半徑為r₁，運動周期為T₁，
則B1qv0=m

v 2 0

r1

 
T1=

2πm

B1q

 
解得r₁=5cm
T₁=

2π

3

×10-5s
（3）設磁感應強度B₂=0.5T時，粒子運動半徑為r₂，運動周期為T₂，
則B2qv0=m

v 2 0

r2

 
T2=

2πm

B2q

 
解得r₂=3cm 
T₂=

2π

5

×10-5s 
由以上計算可知，粒子的運動軌跡為如圖所示的周期運動，每一個周期運動的水平距離為
S=2（r₁+r₂）=16cm 
所以粒子運動1個整數周期后余下的距離為△d=d-s=5cm=r₁ 
粒子從C點出發運動到擋板的時間為t=5t1+

T1

2

+

T2

2

+

T1

4

 
解得t=3.24×10^-5s

（4）欲使粒子垂直打在擋板ab上，擋板ab距D點的距離應滿足
d=nr₁+（n-1）r₂
   解得d=（8n-3）×10^-2m（n=1，2，3，…） 
或者  d=（n+1）r₁+nr₂  
    解之得  d=（8n+5）×10^-2m（n=0，1，2，…）

點評：考查牛頓第二定律與運動學公式的同時，也體現了運動的重復性與周期性．注意當帶電粒子在電場中加速與減速時間相等，由于洛倫茲力不做功，所以速率不變，但磁場不同，則運動半徑也不同．