Question

【題目】央視《加油向未來(lái)》節(jié)目組曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，如圖1所示，高為h的分別是由銅、鋁和不銹鋼做成的三個(gè)豎直軌道A、B、C垂直立在水平地面上，軌道的形狀、橫截面積都相同，所用金屬的相關(guān)參數(shù)如下表。節(jié)目組讓3個(gè)相同的內(nèi)部都固定了相同強(qiáng)磁體的木制小車(chē)分別從A、B、C三個(gè)軌道上端同時(shí)由靜止釋放，小車(chē)運(yùn)動(dòng)時(shí)不與軌道發(fā)生摩擦，空氣阻力忽略不計(jì)。3個(gè)相同的小車(chē)及固定磁鐵的總質(zhì)量均為m。

(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D2的坐標(biāo)系中畫(huà)出小車(chē)由靜止釋放沿A軌道運(yùn)動(dòng)直到落地的v—t圖像；

(2)請(qǐng)根據(jù)題目信息判斷沿哪個(gè)軌道運(yùn)動(dòng)的小車(chē)最先到達(dá)地面，并定性說(shuō)明理由；

(3)假如A軌道的小車(chē)最后穩(wěn)定下落的速度為v0，求該小車(chē)達(dá)到穩(wěn)定速度后銅軌道的熱功率P0；

(4)軌道之所以發(fā)熱是因?yàn)榻饘儆须娮琛＝?jīng)典物理學(xué)認(rèn)為：金屬的電阻源于定向運(yùn)動(dòng)的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后剩余的那部分）的碰撞。在外加電場(chǎng)下自由電子做定向移動(dòng)的過(guò)程中要不斷與金屬離子發(fā)生碰撞，將其動(dòng)能全都交給金屬離子，然后在電場(chǎng)的作用下重新開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)一段距離后，再與金屬離子發(fā)生碰撞。經(jīng)加速運(yùn)動(dòng)電子在兩次碰撞之間走的平均距離叫自由程，用L表示。某金屬單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n，電子的質(zhì)量為m，電子的電荷量為e。電子在該金屬一個(gè)自由程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t。

a．假設(shè)電子每段自由程中都沿電流方向做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，求該金屬的電阻率；

b．如果在考慮大量電子的統(tǒng)計(jì)效果時(shí)，不考慮每個(gè)電子斷斷續(xù)續(xù)地碰撞，而著眼于實(shí)際運(yùn)動(dòng)的平均結(jié)果，可等效為電子在金屬中勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，而金屬給電子以持續(xù)的摩擦阻力，該摩擦阻力的大小與電子平均速度成正比，求其摩擦因數(shù)為k。

金屬	溫度（°C）	密度（）	電阻率（）	硬度 （金剛石硬度為10）
銅	20	8．9	1．7	2．8
鋁	20	2．7	2．9	2．6
不銹鋼	20	7．8	10．0	4．6

Answer 1

【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析；(3)；(4)a.；b.

【解析】

(1)如圖所示

(2)沿C（不銹鋼）軌道的小車(chē)最先到達(dá)地面。強(qiáng)磁鐵相對(duì)金屬導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)，由電磁感應(yīng)定律和楞次定律可知，在金屬中要產(chǎn)生感應(yīng)電流（渦流），該感應(yīng)電流將對(duì)強(qiáng)磁鐵的小車(chē)產(chǎn)生阻力作用，小車(chē)將克服該阻力將部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能。由于三輛小車(chē)最初的機(jī)械能相同，而這三種金屬中銅的電阻率最小，在相同條件下銅軌道的電阻也最小，感應(yīng)電流最大，阻礙最強(qiáng)，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的功率最大，將最晚落到地面；而不銹鋼軌道的電阻率最大，其感應(yīng)電流最小，阻礙最弱，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的功率最小，將最先落到地面。

(3)小車(chē)穩(wěn)定（勻速）下落過(guò)程中，可認(rèn)為減少的重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為銅軌道的熱能，即

變形可得

(4)金屬中電子定向移動(dòng)的平均速度為

電流強(qiáng)度的微觀表達(dá)式為

電子在自由程內(nèi)加速，由動(dòng)能定理

電子勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，則有

由歐姆定律可得

由電阻定律可得

聯(lián)立解得

設(shè)自由程內(nèi)總得電荷數(shù)為N，電場(chǎng)力做功功率等于克服阻力做功的功率，即

由題意可知

聯(lián)立解得