Question

（2007?佛山二模）如圖所示，在真空中，半徑為R=5L₀的圓形區域內存在勻強磁場，磁場方向垂直紙面向里．在磁場右側有一對平行金屬板M和N，兩板間距離為d=6L₀，板長為L=12L₀，板的中心線O₁O₂與磁場的圓心O在同一直線上．給M、N板加上電壓U₀，其變化情況如下圖所示．有一電荷量為q、質量為m的帶電的粒子，從M、N板右側沿板的中心線，在t=0或t=T/4時刻以速率v向左射入M、N之間，粒子在M、N板的左側剛好以平行于M、N板的速度射出．若上述粒子經磁場后又均能平行于M、N極板返回電場，而電場變化的周期T未知，求磁場磁感應強度B相應必須滿足的條件．（不計粒子重力）

Answer 1

分析：根據牛頓第二定律與運動學公式，結合洛倫茲力提供向心力，可求出磁感應強度的表達式；再結合粒子在電場中運動軌跡與位移公式，從而即可求解．

解答：解：若要使從極板左端射入磁場的粒子又平行于極板返回電場，則它們在磁場中的運動半徑r必須等于其在電場中垂直板方向上的位移y．即：r=y                
否則粒子運動的情況如圖，粒子射出磁場時其速度方向不再與中軸線O₁O₂平行．
對于t=0射入電場的粒子

側位移y=2N?

1

2

at2≤

d

2

           
運動時間，t=

T

2

             
由牛頓第二定律，則有a=

F

m

=

qU0

md

=

qU0

6mL0

    
則NT=

L

v

=

12L0

v

       
而qvB=

mv2

r

           
解得：B=

Nm2v3

6q2U0L0

  （N=1、2、3、…）      
其中 N≥

2qU0

mv2

   
對于t=

T

4

時刻射入電場的粒子

側位移y=2?

1

2

at2≤

d

2

，
t=

T

4

            
若粒子在電場中運動的時間是

T

2

的偶數倍，則粒子沿中軸線O₁O₂射出電場，通過磁場偏轉后，不可能再平行于中軸線O₁O₂射出磁場返回電場．故粒子在電場中運動的時間只能取

T

2

的奇數倍．

(2N+1)

2

T=

12L0

v

       
解得：B=

(2N+1)2m2v3

6q2U0L0

  （N=1、2、3、…）   
其中(2N+1)2≥

2qU0

mv2

即N≥

1

2

(

2qU0 mv2

-1)    
答：磁場磁感應強度B相應必須滿足的條件是N≥

1

2

(

2qU0 mv2

-1)．

點評：考查粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，掌握處理類平拋運動與勻速圓周運動的規律，理解牛頓第二定律與幾何關系在題中的應用．