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1．命題“”的否定是    ★    ．

2．=    ★    ．

3．函數的最小正周期是    ★    ．

4．長方體中，，則與平面所成的角的大小為   ★    ．

5．已知實數滿足則的最小值是   ★ ．

6．已知拋物線的準線與雙曲線的左準線重合，則拋物線的焦點坐標為           .

7. 執行右邊的程序框圖，若，則輸出的   ★    ．

8．將圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，則圓錐的體積是       .

9．若直線過點，則以坐標原點為圓心，長為半徑的圓的面積的最小值是                ．

10．已知集合，在集合任取一個元素，則事件“”的概率是   ★    ．

11．已知、是橢圓+=1的左右焦點，弦過F₁，若的周長為，則橢圓的離心率為    ★    ．

12．等邊三角形中，在線段上，且，若，則實數的值是    ★    ．

13．數列的前項和是，若數列的各項按如下規則排列：

，

若存在整數，使，，則    ★    ．

14．若函數滿足：對于任意的都有恒成立，則的取值范圍是    ★    ．

15．（本題滿分14分）

在△ABC中，分別是角A，B，C的對邊，，．

（Ⅰ）求角的值;

（Ⅱ）若，求△ABC面積．

16．（本題滿分14分）

在正方體中，分別是中點．

（Ⅰ）求證：平面⊥平面；

（Ⅱ）若在棱上有一點，使平面，求與的比．

17、（本題滿分15分）

為了分析某個高三學生的學習狀態，對其下一階段的學習提供指導性建議。現對他前7次考試的數學成績、物理成績進行分析．下面是該生7次考試的成績．

數學

88

83

117

92

108

100

112

物理

94

91

108

96

104

101

106

（Ⅰ）他的數學成績與物理成績哪個更穩定？請給出你的證明；

（Ⅱ）已知該生的物理成績與數學成績是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理建議．

18、(本題滿分15分)

已知圓交軸于兩點，曲線是以為長軸，直線為準線的橢圓．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若是直線上的任意一點，以為直徑的圓與圓相交于兩點，求證：直線必過定點，并求出點的坐標；

（Ⅲ）如圖所示，若直線與橢圓交于兩點，且，試求此時弦的長．

19．（本小題滿分16分）

已知函數．

（Ⅰ）若，求的單調區間；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范圍．

20．（本題滿分16分）

已知等差數列的首項為，公差為，等比數列的首項為，公比為(其中均為正整數)．

(Ⅰ) 若，求數列、的通項公式；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若成等比數列，求數列的通項公式；

(Ⅲ) 若，且至少存在三個不同的值使得等式成立，試求、的值．

揚州市2008―2009學年度第一學期期未調研測試試題

高 三 數 學

第二部分（加試部分）

（總分40分，加試時間30分鐘）

注意事項：

答卷前，請考生務必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷密封線內．解答過程應寫在答題卷的相應位置上，在其它地方答題無效。

1、選修4－2　矩陣與變換

如圖矩形在變換的作用下變成了平行四邊形，求變換所對應的矩陣．

2、選修4－4　參數方程與極坐標

已知某圓錐曲線的參數方程為（為參數）．

（Ⅰ）試將圓錐曲線的參數方程化為普通方程；

（Ⅱ）以圓錐曲線的焦點為極點，以它的對稱軸為極軸建立極坐標系，試求它的極坐標方程．

3、如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，⊥平面ABCD，且，，點E是AB上一點，AE等于何值時，二面角的平面角為．

4、某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經驗，甲勝乙的概率為．

（Ⅰ）求比賽三局甲獲勝的概率；

（Ⅱ）求甲獲勝的概率；

（Ⅲ）設甲比賽的次數為，求的數學期望．

揚州市2008―2009學年度第一學期期未調研測試試題

高 三 數 學 參 考 答 案

2009．01．

1．    2．                      3．                        4．

5．1                                   6．                     7.               8．

9．1                                  10．                        11．                  12．

13．                              14．

15．解：（Ⅰ）由得，，                      3分

，                                 5分

又，∴  。                                                7分

（Ⅱ）由可得，，                               9分

由得，,                                               12分

所以，△ABC面積是                                           14分

16．證明：（Ⅰ）連AC，則AC⊥，

又分別是中點，∴  ，∴  ⊥，                   3分

∵  是正方體，∴  ⊥平面，

∵  平面，∴  ⊥，                     5分

∵  ，∴  ⊥平面，

∵   平面，∴  平面⊥平面；       7分

（Ⅱ）設與的交點是，連，

∵  平面，平面，平面平面=PQ，

∴  ，                                                           10分

∴  ┱=┱=3┱1。                                           14分

17．解：（Ⅰ）；          

；                                  4分

，，                      

從而，所以物理成績更穩定。                                   8分

（Ⅱ）由于與之間具有線性相關關系，

，                                  11分

線性回歸方程為。當時，。                   13分

建議：

進一步加強對數學的學習，提高數學成績的穩定性，將有助于物理成績的進一步提高。 15分

18．解：（Ⅰ）設橢圓的標準方程為，則：

，從而：，故,所以橢圓的標準方程為。       4分

（Ⅱ）設，則圓方程為                   6分

與圓聯立消去得的方程為，           

過定點。                                                              9分

（Ⅲ）解法一：設，則,………①

，，即：        

代入①解得：（舍去正值），                                           12分

，所以，

從而圓心到直線的距離，

從而。                                                   15分

解法二：過點分別作直線的垂線，垂足分別為，設的傾斜角為，則：

，從而，                 11分

由得：，，故，

由此直線的方程為，以下同解法一。                               15分

解法三：將與橢圓方程聯立成方程組消去得：,設，則。   11分

，，所以代入韋達定理得：

，                                            

消去得：，，由圖得：，                               13分

所以，以下同解法一。                                          15分

19．解：（Ⅰ），其定義域是

令，得，（舍去）。                                         3分

當時，，函數單調遞增；

當時，，函數單調遞減；

即函數的單調區間為，。                                         6分

（Ⅱ）設，則，                          8分

當時，，單調遞增，不可能恒成立，                    10分

當時，令，得，（舍去）。

當時，，函數單調遞增；                          

當時，，函數單調遞減；                                            13分

故在上的最大值是，依題意恒成立，    

即，

又單調遞減，且，

故成立的充要條件是，

所以的取值范圍是。                                                      16分

20．解：（Ⅰ）由得：，

解得：或，

， ，從而                                   4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，構成以為首項，為公比的等比數列，即：                                                                 6分

又，故，                                         9分

(Ⅲ) 由得：，

由得：；由得：，

而，即：，從而得：，

，當時，不合題意，故舍去，

所以滿足條件的.                                                            12分

又，，故，

即：                                                          13分

①若，則，不合題意；                                    14分

②若，則，由于可取到一切整數值，且，故要至少存在三個使得成立，必須整數至少有三個大于或等于3的不等的因數，故滿足條件的最小整數為12，所以的最小值為，此時或或12。          16分

揚州市2008―2009學年度第一學期期未調研測試試題

高 三 數 學 參 考 答 案

加試部分

1．解法一：（1）由矩形變換成平行四邊形可以看成先將矩形繞著點旋轉，得到矩形，然后再將矩形作切變變換得到平行四邊形。

故旋轉變換矩陣為：　　　　                     　　3分

切變變換：，

切變變換矩陣為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　      　　6分

矩陣，　　　　　　　　　　　　　　　       　　10分

解法二：（1）設矩陣，則點，，

故：，，

即：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　                 6分

解得：，　　　。　　　　　　　　　　　                 10分

2．解：（1）由方程的（2）式平方減去（1）式得：　　5分

（2）曲線的焦點到準線的距離為，離心率為，

所以曲線的極坐標方程為　　　　　　　　　　　　　　　  　  　10分

3．解：以D為原點，射線DA、DC、DP為軸正方向建立空間直角坐標系，

設，則，

設平面的法向量為

，　　　  　    5分

記

而平面ECD的法向量，　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　   6分

則二面角D₁―EC―D的平面角

。

當AE=時，二面角的平面角為。　　　　　　　     　　10分

4．解：記甲局獲勝的概率為，，

（Ⅰ）比賽三局甲獲勝的概率是：；                           2分

（Ⅱ）比賽四局甲獲勝的概率是：；

比賽五局甲獲勝的概率是：；

甲獲勝的概率是：。                                         5分

（Ⅲ）記乙局獲勝的概率為，。

，；；

故甲比賽次數的分布列為：

3

4

5

所以甲比賽次數的數學期望是：

。              10分