2006年河南省示范性普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量調(diào)研考試
理科數(shù)學(xué)
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。
第I卷（選擇題 共60分）
［參考公式］
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A、B相互獨(dú)立，那么 其中R表示球的半徑
如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 球的體積公式
P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k 
次的概率
其中R表示球的半徑
一、選擇題：
（1）若集合
，
，則
＝
A. 
B.
C. 
D.
（2）已知等差數(shù)列
，公差為
，且
，若
，則k＝
A. 6 B.
（3）當(dāng)
時(shí)，
的值等于
A. 1 B. －1 C. i D. －i
（4）設(shè)a≠0為常數(shù)，已知
和
這兩個(gè)展開(kāi)式中
的系數(shù)相等，則a的值為
A. 
B.
C.
D.
（5）曲線
在點(diǎn)P處的切線斜率為k，當(dāng)k＝3時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)為
A. （－2，－8） B. （－1，－1），（1，1）
C. （2，8） D.
（
）
（6）函數(shù)
的反函數(shù)的解析式為
A. 
B.
C. 
D.
（7）為了得到函數(shù)
的圖象，可以將函數(shù)
的圖象
A. 向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度 B.
向右平移
個(gè)單位長(zhǎng)度
C. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.
向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
（8）函數(shù)
的最大值是
A. 
B.
C.
D.
（9）在正方體ABCD―A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，則C1O與A1D所成的角為
A. 60° B.
90° C.
D.
（10）設(shè)橢圓
、雙曲線
、拋物線
（其中
）的離心率分別為
，則下列結(jié)論正確的是
①
②
③
④
⑤
A. ①②⑤ B. ①② C. ②④ D. ③⑤
（11）點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足
＝
，則點(diǎn)O是△ABC的
A. 內(nèi)心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心
（12）函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱，則導(dǎo)函數(shù)
的圖象
A. 關(guān)于直線對(duì)稱 B.
關(guān)于直線
對(duì)稱
C. 關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱 D. 關(guān)于點(diǎn)（－1，0）對(duì)稱
第II卷（非選擇題 共90分）
（13）若一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則球與該正方體的體積之比為_(kāi)_______。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。
（14）已知x，y滿足約束條件
，則
的最小值是________。
（15）已知點(diǎn)
，其中n為正整數(shù)。設(shè)Sn表示△ABC外接圓的面積，則
＝___________。
（16）對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品，一一進(jìn)行測(cè)試，到區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有________種。（以數(shù)字作答）
（17）（本小題滿分12分）
三、解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
已知函數(shù)
的定義域?yàn)镽。
（I）當(dāng)
時(shí)，求
的單調(diào)增區(qū)間；
（II）當(dāng)
，且
，當(dāng)
為何值時(shí)，為偶函數(shù)。
（18）（本小題滿分12分）
一種電路控制器在出廠時(shí)每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時(shí)不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入了一箱，為了找出該箱中的二等品，我們對(duì)該箱中的產(chǎn)品逐一取出進(jìn)行測(cè)試。
（I）求前兩次取出的都是二等品的概率；
（II）用隨機(jī)變量
表示第二個(gè)二等品被取出時(shí)共取出的件數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。
（19）（本小題滿分12分）
如圖，在直三柱錐ABC―A1B1C1中，∠ACB＝90°，BC＝CC1＝a，AC＝2a。
（I）求證：AB1⊥BC1；
（II）求二面角B―AB1―C的正切值；
（III）求點(diǎn)A1到平面AB1C的距離。
（20）（本小題滿分12分）
設(shè)函數(shù)
，其中
。
（I）求a的范圍，使在
上是增函數(shù)；
（II）函數(shù)在
上能否是增函數(shù)？為什么？
（21）（本小題滿分14分）
已知
、D三點(diǎn)不在同一直線上，且
，
，
。
（I）求點(diǎn)E軌跡方程；
（II）過(guò)F1作直線以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線PQ與點(diǎn)E的軌跡相切，求該橢圓的方程；
（III）若該圓C的一個(gè)頂點(diǎn)T（0，－2），試問(wèn)能否找到一條斜率為k（k≠0）的直線l，使l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N滿足
。
（22）（本小題滿分12分）
四棱錐S－ABCD的所有棱長(zhǎng)均為1米，一只小蟲(chóng)從S點(diǎn)出發(fā)沿四棱錐爬行，若在每一頂點(diǎn)處選擇不同的棱都是等可能的。設(shè)小蟲(chóng)爬行n米后恰回到S點(diǎn)的概率為Pn。
（I）求P2、P3的值；
（II）求證：
；
（III）求證：
【試題答案】
2006年河南省示范性普通高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量調(diào)研考試
一、選擇題
（1）C （2）B （3）D （4）A （5）B
（6）B （7）B （8）D （9）D （10）A
（11）B （12）C
二、填空題
（13）
（14）－6 （15）
（16）576
三、解答題
（17）（本小題滿分12分）
解：（I）當(dāng)
時(shí)，
。
依條件有：
∴
∴
的單調(diào)增區(qū)間為
6分
（II）設(shè)
∴
∴
∴
依條件令
，即
時(shí)，為偶函數(shù)。 12分
（18）（本小題滿分12分）
解：（I）四件產(chǎn)品逐一取出排成一列共有
種方法，前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的共有
種方法，∴前兩次取出的產(chǎn)品都是二等品的概率為
； 6分
（II）
的所有可能取值為2，3，4，∴的概率分布為
2
3
4
P
∴
12分
（19）（本小題滿分12分）
（I）證明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC，∴AC⊥CC1。
∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B1BCC1。
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影。
∵BC＝CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形。
∴BC1⊥B1C。根據(jù)三垂線定理得
AB1⊥BC1 4分
（II）解：設(shè)
，作OP⊥AB1于點(diǎn)P
連結(jié)BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，
∴BO⊥平面AB1C
∴OP是BP在平面AB1C上的射影。
根據(jù)三垂線定理得AB1⊥BP。
∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角
∵
在Rt△POB中，
∴二面角B－AB1－C的正切值為
8分
（III）解：解法1：∵A1C1∥AC，AC
平面AB1C，
∴A1C1∥平面AB1C。
∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離與點(diǎn)C1到平面AB1C的距離相等。
∵BC1⊥平面AB1C，
∴線段C1O的長(zhǎng)度為點(diǎn)A1到平面AB1C的距離
∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為
a 12分
解法2：連結(jié)A1C，有
設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為h。
∵B1C1⊥平面ACC1A1，∴
?h＝
，
又
∴
，
∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為
12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（I）若在[0，
）上是增函數(shù)，則
時(shí)
恒成立
即
恒成立
∴
故a的取值范圍是
6分
（II）若
上是增函數(shù)
則
恒成立
即
對(duì)所有的
均成立
得
，與題設(shè)
矛盾。
∴上不是增函數(shù) 12分
（21）（本小題滿分14分）
解：（I）設(shè)E（x，y），則
由已知得
∴
即為點(diǎn)E的軌跡方程。 4分
（II）設(shè)橢圓C的方程為
，過(guò)F1的直線為
，P、Q在橢圓C上，
∴
兩式相減，得
①
而
，
代入①得
②
由與圓
相切，得
代入②得
，
而
橢圓C的方程為
9分
（III）假設(shè)存在直線
，設(shè)MN的中點(diǎn)為
由|TM|＝|TN|，∴TP為線段MN的中垂線，其方程為
又設(shè)
相減并由
整理得：
又點(diǎn)P（－4k，2）在橢圓的內(nèi)部
∴
，解之得
，即k不存在
∴不存在直線l滿足題設(shè)條件。 14分
（22）（本小題滿分12分）
解：（I）P2表示從S點(diǎn)到A（或B、C、D），然后再回到S點(diǎn)的概率
所以
；
因?yàn)閺腟點(diǎn)沿SA棱經(jīng)過(guò)B或D，然后再回到S點(diǎn)的概率為
，
所以
4分
（II）設(shè)小蟲(chóng)爬行n米后恰回到S點(diǎn)的概率為Pn，那么
表示爬行n米后恰好沒(méi)回到S點(diǎn)的概率，則此時(shí)小蟲(chóng)必在A（或B、C、D）點(diǎn)
所以
8分
（III）由
從而
所以
12分
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