第二十五講 選 擇 題 的 解 法
一、題型特點：
1．高考數學試題中，選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲透各種數學思想和方法，體現以考查“三基”為重點的導向，能否在選擇題上獲取高分，對高考數學成績影響重大.解答選擇題的基本要求是四個字――準確、迅速.
2．選擇題主要考查基礎知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的準確、基本方法的運用、考慮問題的嚴謹、解題速度的快捷等方面. 解答選擇題的基本策略是：要充分利用題設和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說來，能定性判斷的，就不再使用復雜的定量計算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規解法；能使用間接法解的，就不必采用直接解；對于明顯可以否定的選擇應及早排除，以縮小選擇的范圍；對于具有多種解題思路的，宜選最簡解法等。解題時應仔細審題、深入分析、正確推演、謹防疏漏；初選后認真檢驗，確保準確。
3．解數學選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚至有些題目根本無法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.
二、例題解析
1.直接求解法 涉及數學定義、定理、法則、公式的應用的問題，常通過直接演算得出結果，與選擇支進行比照，作出選擇，稱之直接求解法．
例1、 圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為
的點共有（ ）
Ａ.1個 Ｂ.2個 Ｃ.3個 Ｄ.4個
解 :本題的關鍵是確定已知直線與圓的相對位置,這就需對圓心到直線的距離作定量分析．將圓的方程化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2)2,∴ r＝2.∵ 圓心(－1，－2)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝
＝,恰為半徑的一半．故選Ｃ．
例2、設F1、F2為雙曲線
－y2＝1的兩個焦點，點P在雙曲線上滿足∠F1PF2＝90o，則△F1PF2的面積是（ ）
Ａ.1
Ｂ.
/2
Ｃ.2
Ｄ.
解 ∵ |PF1|－|PF2|＝±2a＝±4，∴ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|?|PF2|＝16，
∵ ∠F1PF2＝90o，∴ 
＝
|PF1|?|PF2|＝
(|PF1|2＋|PF2|2－16).
又∵ |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝20.∴
＝1，選Ａ．
例3、
橢圓mx2＋ny2＝1與直線x＋y＝1交于A、B兩點，過AB中點M與原點的直線斜率為
，則
的值為（ ）
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.1
Ｄ.
分析:命題：“若斜率為k(k≠0)的直線與橢圓
＋
＝1（或雙曲線－＝1）相交于A、B的中點，則k?kOM＝－
(或k?kOM＝)，”（證明留給讀者）在處理有關圓錐曲線的中點弦問題中有著廣泛的應用．運用這一結論，不難得到：
解 ∵ kAB?kOM＝－＝－
＝－,∴ ＝－kAB?kOM＝1?＝，故選Ａ．
2.直接判斷法
涉及有關數學概念的判斷題，需依據對概念的全面、正確、深刻的理解而作出判斷和選擇．
例1、甲：“一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面”，乙：“兩個二面角相等或互補．”則甲是乙的（ ）
Ａ.充分而非必要條件 Ｂ.必要而非充分條件
Ｃ.充要條件 Ｄ.既非充分又非要條件
分析 顯然“乙Þ甲”不成立，因而本題關鍵是判斷
“甲Þ乙”是否成立？由反例：正方體中，二面角A1－AB
－C與B1－DD1－A滿足條件甲(圖31－1)，但它們的度數
分別為90o和45o，并不滿足乙，故應選Ｄ．
例2、下列四個函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（ ）
Ａ.f(x)＝x＋lg
Ｂ.f(x)＝(x－1)
Ｃ.f(x)＝
Ｄ.f(x)＝
解 由于選擇支Ｂ給出的函數的定義域為[－1，1]，該定義區間關于原點不對稱，故選Ｂ．
3、特殊化法（即特例判斷法）
例1．如右下圖,定圓半徑為a，圓心為 ( b ,c ), 則直線ax+by+c=0
與直線 x?y+1=0的交點在( B )
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
提示：取滿足題設的特殊值a=2，b=?3，c=1
解方程
得 
于是排除A、C、D，故應選B
例2．函數f(x)=Msin(
) (
)在區間[a，b]上是增函數，且f(a)=?M，
f(b)=M，則函數g(x)=Mcos()在[a，b]上（ C
）
A．是增函數 B．是減函數 C．可以取得最大值M D．可以取得最小值?M
解：取特殊值。令
=0，
，則
因
，則
，這時
,
顯然應選C
例3．已知等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ C ）
A．130 B．170 C．210 D．260
解：特殊化法。令m=1，則a1=S1=30，又a1+a2=S2=100 ∴a2=70, ∴等差數列的公差d=a2?a1=40，于是a3=a2+d=110, 故應選C
例4．已知實數a，b均不為零，
，且
，則
等于（ B ）
A．
B．
C．? D．?
提示：特殊化法。取
，則
故應選B
4、排除法（篩選法）
例1．設函數
，若f(x0)>1，則x0的取值范圍是（ D ）
A．(?1,1) B．(?1,+
) C．(?,?2)
(0,+) D．(?,?1)(1,+)
例2．已知
是第三象限角，|cos|=m，且
，則
等于（ D ）
A．
B．? C．
D．?
例3．已知二次函數f(x)=x2+2(p?2)x+p，若f(x)在區間[0，1]內至少存在一個實數c，使f( c)>0，
則實數p的取值范圍是（ C ）
A．（1，4）
B．（1，+） C．（0，+） D．（0，1）
點評：排除法，是從選擇支入手，根據題設條件與各選擇支的關系，逐個淘汰與題設矛盾的選擇支，從而篩選出正確答案。
5、數形結合法（圖象法） 根據題目特點，畫出圖象，得出結論。
例1．對于任意x∈R，函數f(x)表示?x+3，
，x2?4x+3中的較大者，則f(x)的最小值是（ A ）
A．2 B．3 C．8 D．?1
例2．已知向量
，向量
，向量
，則向量
與向量
的夾角的取值范圍是（ D ）
A．[0，
]
B．[，
] C．[，
] D．[
，]
例3．已知方程|x?2n|=k
(n∈N*)在區間[2n?1，2n+1]上有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ B ）
A．k>0 B．0<k≤
C．
≤k≤ D．以上都不是
6、代入檢驗法（驗證法）
將選擇支中給出的答案（尤其關注分界點），代入題干逐一檢驗，從而確定正確答案的方法為驗證法。
例1．已知a，b是任意實數，記|a+b|，|a?b|，|b?1|中的最大值為M，則（D ）
A．M≥0 B．0≤M≤
C．M≥1 D．M≥
解：把M=0代入，排除A、B；再把M=代入檢驗滿足條件，排除C。
例2．已知二次函數
，若在區間[0，1]內至少存在一個實數c，使
，則實數p的取值范圍是（ C ）
A．（1，4） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（0，1）
解：取p=1代入檢驗。
例3．(2004廣東)變量x，y滿足下列條件：
則使得z=3x+2y的值的最小的(x，y)是（ B ）
A．（4.5，3） B．（3，6） C．（9，2） D．（6，4）
解：一一代入檢驗。代入運算后比較大小。
7、推理分析法
通過對四個選擇支之間的邏輯關系的分析，達到否定謬誤支，肯定正確支的方法，稱之為邏輯分析法，例如：若“(A)真 Þ (B)真”，則(A)必假，否則將與“只有一個選擇支正確”的前提相矛盾．
例1 當xÎ[－4，0]時，a＋
≤
x＋1恒成立，則a的一個可能值是（ ）
Ａ.5
Ｂ.
Ｃ.－
Ｄ.－5
解 ∵ ≥0， ∴ (A)真Þ(B)真Þ(C)真Þ(D)真，
∴ (D)真.
例3、已知sinq ＝
,cosq ＝
（
＜q ＜p）,則tg
＝( ).
Ａ.
Ｂ.||
Ｃ.
Ｄ.5
解 因受條件sin2q ＋cos2q ＝1的制約，故m為一確定值，于是sinq 、cosq 的值應與m無關，進而推知tg的值與m無關，∵ ＜q ＜p， ∴ Î(
，)，∴
tg＞1，故選(Ｄ)．
注:直接運用半角公式求tg，將會錯選(Ａ)．若直接計算，由()2＋()2＝1，可得m＝0或m＝8，∵ ＜q ＜p， ∴ sinq ＞0，cosq ＜0，故應舍去m＝0，取m＝8，得sinq ＝
，cosq ＝
,再由半角公式求出tg＝＝5,也不如上述解法簡捷.
三、練習
1已知點P（sinα-cosα,tanα）在第一象限，則在
內α的取值范圍為（ B ）
A 
B 
C 
D 
2一個直角三角形的三內角成等比數列，則其最小內角為（ B ）
A 
B 
C
D
3若
，則
（ B ）
A 
B 
C 
D 
4函數
的反函數為（ B ）
A B 
C 
D 
5已知函數
在[0，1]上是x的減函數，則a的取值范圍為（ B ）
A （0，1） B （1，2） C （0，2） D 
6．（07天津）設
均為正數，且
，
，
．則（ A ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
7設f(x)是定義在實數集R上的任意一個增函數，且F（x）=f(x)-f(-x),那么F（x）應為（ A ）
A 增函數且是奇函數 B增函數且是偶函數
C 減函數且是奇函數 D減函數且是偶函數
解: 取f(x)=x，知F（x）=x-(-x)=2x，故選A。
8定義在
上的奇函數
為增函數，偶函數
在區間
的圖象與的圖象重合，設
，給出下列不等式：
1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) 2) f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)
3) f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a) 4) f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)
其中成立的是（ C ）
A 1）與2） B 2）與3） C 1）與3） D 2）與4）
9若
，則
的值為（ D ）
A 
B 
C 
D 
10將直線3x-y+2=0繞原點按逆時針方向旋轉900，得到的直線方程為（ A ）
A x+3y+2=0 B x+3y-2=0 C x-3y+2=0 D x-3y-2=0
11已知集合A=
，B＝
，C
的則A、B、C的關系是（ C ）.
A.
B. 
C.
D. 
12集合
{
，1}，
{
，1，2}，其中
{1，2，…，9}且
，把滿足上述條件的一對有序整數（
）作為一個點，這樣的點的個數是(B)
（A）9 （B）14 （C）15 （D）21
13已知函數
，
，
，
R，且
，
，
，則
的值(B)
（A）一定大于零 （B）一定小于零 （C）等于零 （D）正負都有可能
14已知1是
與
的等比中項，又是
與
的等差中項，則
的值是 (D)
（A）1或
（B）1或
（C）1或
（D）1或
15平面直角坐標系中，
為坐標原點，已知兩點
（2，－1），
（－1，3），若點
滿足
其中0≤
≤1，且
，則點的軌跡方程為(C)
（A）
（B）
（C）
（－1≤≤2）
（D）
（－1≤≤2）
16．已知定義域為
的函數在
上為減函數，且函數
為偶函數，則（ D ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
17下列各圖是正方體或正四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，這四個點中不共面的一個圖是(D)
（A） （B） （C） （D）
18如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB
所圍成的弓形面積的２倍，則函數y=f(x)的圖象是 ( D )
19為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文
密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規則為：明文
對應密文
例如，明文
對應密文
當接收方收到密文
時，則解密得到的明文為（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
20關于
的方程
，給出下列四個命題：
①存在實數
，使得方程恰有2個不同的實根；
②存在實數，使得方程恰有4個不同的實根；
③存在實數，使得方程恰有5個不同的實根；
④存在實數，使得方程恰有8個不同的實根.
其中假命題的個數是 （A）
A. 0
B.
21設
是二次函數，若
的值域是
，則的值域是（ C ）
A．
B．
C． D．
22如果
的三個內角的余弦值分別等于
的三個內角的正弦值，則（ D ）
A．和都是銳角三角形
B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
23已知非零向量
與
滿足
且
則
為（A）
（A）等邊三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等邊三角形 （D）三邊均不相等的三角形
24已知雙曲線
的左、右焦點分別為
，
，
是準線上一點，且
，
，則雙曲線的離心率是（ B ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
25如圖，平面中兩條直線
和
相交于點O，對于平面上任意一點M，若
、
分別是M到直線和的距離，則稱有序非負實數對（，）是點M的“距離坐標”．已知常數≥0，≥0，給出下列命題：
①若＝＝0，則“距離坐標”為（0，0）的點
有且僅有1個；
②若
＝0，且＋≠0，則“距離坐標”為
（，）的點有且僅有2個；
③若≠0，則“距離坐標”為（，）的點有且僅有4個．
上述命題中，正確命題的個數是( D )
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3．
26（06江西）對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）
³0，則必有（ C ）
A．
f（0）＋f（2）<
C. f（0）＋f（2）³
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