2007年寧波市高三模擬試卷
（數學理科）
說明：本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分．
考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．
1、若全集
，則
為
A．
B．
C．
D．
2、復數
，則
A．
B．
C．
D．
3、下列函數中，是周期函數且在區間
上遞減的是
A．
B．
C．
D．
4、已知隨機變量
服從正態分布
，若
，則
A．
B．
C．
D． 
5、“升級”是一種常見的網絡游戲．在游戲的發牌過程中，先從洗好的兩副撲克牌（108張）
中任意抽出8張作為“底牌”，再把剩下的100張牌按確定的順序發牌，每個玩家25張．
這其實是兩個抽樣的過程，其抽樣方法分別是
A．簡單隨機抽樣，分層抽樣 B． 分層抽樣，系統抽樣
C．系統抽樣，分層抽樣 D．簡單隨機抽樣，系統抽樣
6、給出以下四個命題：
①過直線外一點作該直線的垂線是唯一的；
②過直線外一點作該直線的平行平面是唯一的；
③過平面外一點作該平面的垂直平面是唯一的；
④過平面的斜線作該平面的垂直平面是唯一的．
其中真命題的個數為
A．
B．
C．
D．
7、已知
，
，則函數
的圖象是
8、在等差數列
中，
，記
為其前
項和，則
A．
B．
C．
D．
9、若
為銳角，則“
”是“
”的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
10、若集合
、
滿足
，則稱
，
為集合
的一個分拆，并規定：當且
僅當
時，，與
，
為集合的同一種分拆，則集合
的不同分拆種數是
A. 8 B. 9 C. 26 D. 27
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分．把答案填在答案卡中的相應橫線上．
11、橢圓
的兩條準線間的距離是 ▲ ．
12、
▲ ．
13、在
的展開式中，
項的系數為 ▲ ．
14、
的三內角
所對的長分別為
,若向量
與
是共線向量, 則角
▲ ．
15、已知實數
滿足條件
，則表達式
的
最小值是 ▲ ．
16、若隨機變量的分布列如表所示，則隨機變量
的數學期望是 ▲ ．
17、如圖、在正三棱錐
中，
分別是
的
中點，
，且
，則正三棱錐的
外接球的面積等于 ▲ ．
三、解答題：本大題5小題，其中第18題~第21題每題14分，第22題為16分 ，共72分． 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
18、四棱錐
中，
是矩形，
面，
分別是
的中點．
（1）證明：
∥平面
；
（2）若二面角
的大小為
，
求與平面所成的角．
19、函數
．
（1）若
的導函數
的圖像按向量
平移后可得到函數
的
圖像，求實數
的值；
（2）當
時，求函數在區間
上的最大值和最小值．
20、已知函數
（
）．
（1）求函數
的定義域；
（2）若函數在區間
上是增函數，求實數
的取值范圍．
21、已知曲線
．
（1）由曲線
上任一點
向
軸作垂線，垂足為
，點
分
所成的比為
，
問：點的軌跡可能是圓嗎？請說明理由；
（2）如果直線
的一個方向向量為
，且過點
，直線交曲線于
、
兩點，又
，求曲線的方程．
22、設數列
的各項都是正數，且對任意
，都有
，
其中為數列的前
項和．
（1）求
，并求數列的通項公式；
（2）設
為非零整數，
），試確定
的值，
使得對任意
，都有
成立．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
D
A
B
B
C
D
二、填空題：本大題7小題，每小題4分，共28分．
11、
； 12、 
； 13、
； 14、
； 15、
； 16、
；17、
。
三、解答題
18、（1）略 ……………………………………………………………………（7分）
（2）
就是二面角
的平面角，即
，
…………………………………………………………………（9分）
取
中點
，則
平面
，
就是
與平面所成的角。 …………………………（11分）
，
，
所以與平面所成的角的大小為
。 …………………………（14分）
（用向量方法，相應給分）
19、（1）
，
，
…………（7分）
（2）
，當
時，
；當
時，
，而
，
……………………………………………（14分）
20、（1）當
，當k＝1時，
……………………………………… （7分）
（2）由已知
，又設
，則
，
知當
時，
為增函數，則知
為增函數。…………………（14分）
（用導數法相應給分）
21、.解：（1）、設
，則
，
∵點P分
所成的比為
∴ 
∴ 
∴
代入
中，得
為P點的軌跡方程．
當
時，軌跡是圓． …………………………………………………（7分）
（2）、由題設知直線l的方程為
， 設
聯立方程組
，消去
得：
∵ 方程組有兩解 ∴ 
且
∴
或
且
∵
∴
又 ∵ 
∴ 
解得
（舍去）或
∴ 曲線C的方程是
……………………………………………（14分）
22、解（1）
………………………………………………（5分）
猜想 
， …………………………………………………………（7分）
證明（略） ……………………………………………………………………（10分）
（2）
，要使
恒成立，
恒成立
即
恒成立.
（i）當
為奇數時，即
恒成立， 又
的最小值為1，
（ii）當為偶數時，即
恒成立， 又
的最大值為
，
即
，又
，
為整數，
∴
，使得對任意
，都有
…………………………………（ 16分）
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