機密★啟用前 【考試時間：5月8日 15:00～17:00】
昆明市2008屆高三適應性考試
理科數學試卷
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共5頁. 第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁. 考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回. 滿分150分，考試用時120分鐘.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面積公式
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么 
n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 ，共60分）
注意事項：第Ⅰ卷共2頁，共12小題 ,請用黑色碳素筆將答案答在答題卡上，答在試卷上的答案無效.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知函數
的定義域為集合A，函數
的定義域為集合B，則
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知
是第三象限的角，并且sin=
，則
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在復平面內，與復數
對應的點位于
（A）第一象限 （B） 第二象限 （C） 第三象限 （D） 第四象限
4．如果
，那么下列不等式中正確的是
（A）
（B）
（C）
（D）
5．設向量
，則“
”是“
”的
（A）充要條件 （B）必要不充分條件
（C）充分不必要條件 （D）既不充分也不必要條件
6．過坐標原點且與圓
相切的直線方程為
（A）
（B）
（C）或
（D）或
7．正三角形
的三個頂點在球
的表面上，
，球心到平面的距離為1，則球的表面積為
（A）
（B）
（C）
（D）
8．在等差數列
和等比數列
中，
，則數列前5項的和
為
（A）5 （B）10 （C）20 （D）40
9．已知函數
的圖象為
，則下列命題中
①函數
的周期為
；
②函數在區間
的最小值為
；
③圖象關于直線
對稱； ④圖象關于點
對稱.
正確的命題個數為
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
10．某學校在一次數學基礎測試統計中, 所有學生成績服從正態分布
（單位：分），現任選一名學生, 該生成績在
分~104分內的概率是
（A）
（B） 
（C）
（D）
11．我省某電力部門有5名電力技術員
、
、
、
、
和4名電力工程師
、
、
、
，現從中選派2名技術員和1名工程師支援某省今年年初遭受的嚴重雪災災后電力修復工作, 如果、兩名技術員只能同時選派或同時不選派，技術員和工程師不能同時選派，則不同的選派方案有
（A）16種 （B）15種 （C） 14種 （D） 13種
12．路燈距地面
, 一身高
的人沿穿過燈下的直路以
的速度自O處按圖示方向行走, 則人影長度變化速率是
（A）
（B）
（C）
（D）
機密★啟用前 【考試時間：5月8日 15:00～17:00】
昆明市2008屆高三適應性考試
理科數學試卷
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：第Ⅱ卷 共2頁，共10小題 ,請用黑色碳素筆將答案答在答題卡上，答在試卷上的答案無效.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案直接答在答題卡上.
13．函數
的反函數為
，則
.
14．已知
的展開式中
項的系數為3，則實數
的值為 ．（用數字作答）
15．已知雙曲線
與橢圓
有相同的焦點，則雙曲線的漸近線方程為
.
16．棱長為1的正方體
中，點
、
、分別是表面
、
、
的中心，給出下列結論：
①
與
是異面直線；
②
平面；
③平面
∥平面
；
④過、、的平面截該正方體所得截面是邊長為
的等邊三角形.
以上結論正確的是 .（寫出所有正確結論的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共70分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分10分）
在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，
表示該三角形的面積，且
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，求b的值.
18．（本小題滿分12分）
在2008年北京奧運會某項目的選拔比賽中, 
、兩個代表隊進行對抗賽, 每隊三名隊員, 隊隊員是
隊隊員是
按以往多次比賽的統計, 對陣隊員之間勝負概率如下表, 現按表中對陣方式出場進行三場比賽, 每場勝隊得1分, 負隊得0分, 設A隊、B隊最后所得總分分別為
、
, 且
.
（Ⅰ）求A隊得分為2分的概率；
（Ⅱ）求的分布列;并用統計學的知識說明哪個隊實力較強.
對陣隊員
隊隊員勝
隊隊員負
對
對
對
19．（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱
，
平面
，
是棱
上一點，
是
的中點，
平面
，
，二面角
的大小為
.
（Ⅰ）求的長；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
20．（本小題滿分12分）
設函數
.
（Ⅰ）求
的單調區間;
（Ⅱ）若
，且對任意
總有
成立，求實數的取值范圍.
21．（本小題滿分12分）
設點
，動圓經過點
且和直線
：
相切. 記動圓的圓心的軌跡為曲線
.
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）設點為直線
上的動點，過點作曲線的切線
（
為切點），
證明：直線
必過定點并指出定點坐標.
22．（本小題滿分12分）
在數列中，已知
， 
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若
（
為非零常數），問是否存在整數，使得對任意
都有
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
昆明市2008屆高三適應性考試
一、選擇題（每小題5分，共60分）
1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.D 11.C 12.D
二、填空題（每小題5分，共20分）
13.2 14.
15.
16.③④
三、解答題（共70分）
17. （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）由
可得：
又
; ………………………… 5分
（Ⅱ）
，
.
………………………………………… 10分
18．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設A隊得分為2分的事件為
,
∴
………… 4分
（Ⅱ）
的可能取值為3 , 2 , 1 , 0 ;
,
, 
, 
,
0
1
2
3
∴的分布列為:
………… 8分
于是 
, ……………… 9分
∵ 
, ∴ 
……………………… 11分
由于
, 故B隊比A隊實力較強. ……………………… 12分
19．（本小題滿分12分）
解法一
（Ⅰ）連結
，
∵
平面
，平面
∩平面
∴
又∵
是
的中點
∴
是
的中點
∵
∴
，
∴
是二面角
的平面角.
，
在直角三角形
中，
，
………… 6分
（Ⅱ）解：過
作
，垂足為
，連結
，
∵是三角形的中位線，
∴
∵
面
∴
面
∴
，又
∴
平面
為
在平面上的射影，
又∵，由三垂線定理逆定理，得
∴
為二面角
的平面角
∵
，
在直角三角形
中，
，
∴二面角的大小為
. ……………… 12分
解法二：
（Ⅰ）建立如圖所示空間坐標系
，則
, 
，
平面
的法向量為
由
得
,
平面
,
.
所以點是棱的中點.
平面
的法向量
，
，
即
（Ⅱ）設平面
的法向量為
，平面
的法向量
，
，
∵二面角
為銳角
∴二面角的大小為
20．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）
的定義域為
.
，令
得:
所以在
內為增函數,在
內為減函數. ……………… 6分
（Ⅱ）由題意得:
, 
為遞增函數,
;
為遞增函數, 
的取值范圍為
.
……………… 12分
21． （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）過點
作
垂直直線
于點
依題意得：
，
所以動點的軌跡為是以
為焦點，直線為準線的拋物線，
即曲線
的方程是
………………………4分
（Ⅱ）設
、
，
，則
由
知，
， ∴
，
又∵切線AQ的方程為：
，注意到
切線AQ的方程可化為：
；
由在切線AQ上， ∴
于是在直線
上
同理，由切線BQ的方程可得：
于是在直線上
所以，直線AB的方程為：，
又把
代入上式得：
∴直線AB的方程為：
∴直線AB必過定點
.
………………………12分
（Ⅱ）解法二：設，切點的坐標為
，則
由知，，得切線方程：
即為：
，又∵在切線上，
所以可得：
，又把代入上式得：
，解之得：
∴
，
故直線AB的方程為：
化簡得：
∴直線AB的方程為：
∴直線AB必過定點.
22．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由
①
得：
②
①-②得
，
即有
,
數列
是從第二項為
，公比為
的等比數列
即
， ……………………5分
而
滿足該式， . ……………………6分
（Ⅱ）
， 
要使
恒成立
恒成立
即
當
為奇數時，
恒成立，而
的最小值為
………………………………………………10分
當為偶數時，
恒成立，而
的最大值為
或
所以，存在
，使得對任意
都有. ……………………………………12分
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