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懷化市2008年高三第一次模擬考試統一檢測試卷

數學（理科）

　　命題人：懷鐵一中　向重新　　　　　　　　　　　　審題人：市教科院　唐振球

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　懷化三中　周　睿

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　懷化一中　禹平宇

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　沅陵一中　沈清臣

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1．若其中都是實數，i是虛數單位，則=

A．1+2i B．1－2 i C．2+ i D．2－i

2. 設p：log₂ x<0，q：，則p是┲q的

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

3．若, 則直線=1必不經過

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4．設函數是連續函數，則不等式的解集為

A． B． C． D．

5．邊長為1的正方形ABCD上有一動點P，則向量?的范圍是

A．[0，1] B．[0，] C．[1，] D．{1}

6．已知等差數列的前n項和為S_n，且S₂=10，S₅= 55，則過點P(n，)和

Q(n+2，) (n∈N *)的直線的一個方向向量的坐標可以是

A．（2，） B． C. D.

7．設是展開式中x的系數，則的值為

A．16 B．17 C．18 D．19

8．已知方程的兩個根都大于2，則實數m取值范圍是

A． B． C． D．

9. 如圖1，在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB、D₁C₁的中點，直線A₁B₁與平面 A₁ECF所成的角的正弦值是

A． B．

C． D．

10．已知函數，則函數（其中0<a<1）的單調遞減區間是

A、 B、 C、 D、

二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答卷中對應題號后的橫線上.）

11．某工廠甲、乙、丙三條生產線共生產了某種產品180件，已知甲、乙、丙三條生產線各自生產的產品數依次組成一個等差數列. 為檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽樣，共抽取樣品36件，則從乙生產線生產的產品中抽取了件樣品．

試題詳情

12. 正三棱錐的底面邊長為3，外接球的球心為，且．則三棱錐外接球的體積V= .

試題詳情

13. 已知橢圓(m＞0)，若直線y＝x與橢圓的一個交點M在x軸上的射影恰好是橢圓的右焦點F，則m＝___________.

試題詳情

14. 平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，空間中與平面垂直的非零向量稱為平面的法向量. 在平面直角坐標系中，直線的方程是(A、B不同時為0)，在空間直角坐標系中，平面的方程是(A、B、C不同時為0). 利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A（3，1）且法向量為的直線（點法式）方程為, 化簡后得；類比上述方法，在空間直角坐標系中，經過點A (2, 1, 3) 且法向量為的平面（點法式）方程為　　　　　　　　　　　　 .（請寫出化簡后的結果）

試題詳情

15. 給出下列命題：

試題詳情

① 已知，則p>q；

試題詳情

② 函數的圖象關于直線對稱，在區間內是增函數；

試題詳情

③ 函數（a是常數且a＞0）的最小值是－1, 且存在反函數；

試題詳情

④ 在中，若AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是.

其中真命題的編號是 .（把你認為正確命題的序號都填上）.

懷化市2008年高三第一次模擬考試統一檢測試卷

試題詳情

數學（理科）答題卷

登分欄

題號

一

二

三

總分

得分

題號

答案

試題詳情

二、填空題（每小題5分，共25分）

11、　； 12、； 13、；

試題詳情

14、　　　　　　　　　　　；　15、　 .

評卷人

得分

試題詳情

三、解答題：（本大題共6小題，共75分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟）.

16、（本題滿分12分）

試題詳情

　已知銳角ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．

(I) 求角B的大小；

試題詳情

(II) 求的值．

評卷人

得分

試題詳情

17.（本小題滿分12分）

試題詳情

　　　如圖2，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC 所成的角為60°.

　　（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面ABC；

試題詳情

　　（Ⅱ）求二面角的大小.

試題詳情

評卷人

得分

評卷人

得分

試題詳情

18. （本題滿分12分）

試題詳情

某電視臺《快樂五溪》節目有一個有獎競猜的環節．主持人為幸運觀眾準備了A、B、C三個相互獨立的問題，并且宣布：幸運觀眾答對問題A可獲獎金1000元，答對問題B可獲獎金2000元，答對問題C可獲獎金4000元，回答問題的先后順序由觀眾自由選擇，且每種答題順序的選擇都是等可能的. 但只有第一個問題答對，才能再回答第二題，只有答對第二個問題，才能再回答第三題，否則終止答題．假設幸運觀眾能答對問題A、B、C的概率分別為、、．

(I) 求幸運觀眾獲得獎金5000元的概率；

(II)甲觀眾認為應選擇先易后難的順序（即A→B→C）回答問題，乙觀眾認為應選擇先難后易的順序（即C→B→A）回答問題. 請你分析他倆的說法，相比較而言，誰可能獲得更多的獎金？

19.（本小題滿分13分）

設函數在上是增函數.

（Ⅰ）求正實數的取值范圍；

（Ⅱ）設，求證：

評卷人

得分

試題詳情

20.（本小題滿分13分）'

試題詳情

設不等式組表示的平面區域為D,區域D內的動點P到直線和直線的距離之積為2, 記點P的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)畫圖表示平面區域D，并求曲線C的方程；

試題詳情

(Ⅱ)是否存在過點的直線l, 使之與曲線C交于相異兩點、,且以線段AB為直徑的圓與y軸相切？若存在, 求出直線l的斜率；若不存在, 說明理由．

評卷人

得分

試題詳情

21.（本小題滿分13分）

試題詳情

已知函數及正整數數列. 若,且當時,有；又,, 且對任意恒有成立. 數列滿足:.

試題詳情

　(Ⅰ) 求數列及的通項公式；

試題詳情

　(Ⅱ) 求數列的前項和；

試題詳情

　(Ⅲ) 證明存在，使得對任意均成立．

懷化市2008年高三第一次模擬考試統一檢測試卷

試題詳情

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.

CABCA，BCDDC

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，

11. 12； 12. ； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0； 15. ②④.

三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.解：(Ⅰ) 由已知， ∴ ，

又 ΔABC是銳角三角形， ∴ ………………………………6分

(Ⅱ)

　　　　　　　　　 ………………………………12分

17.解法一：（Ⅰ）∵，

且 ∴ ， ……………………3分

∵

∴ ……………………6分

（Ⅱ）取的中點，則，連結，

∵，∴，從而

作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知， AC⊥MH，

從而為二面角的平面角 …………………8分

直線與直線所成的角為，∴ …………………9分

在中，由余弦定理得

在中，

故二面角的平面角大小為 …………………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）

由題意有，設，

則 ………5分

由直線與直線所成的角為，得

，即，解得………7分

∴，設平面的一個法向量為，

則，取，得 ……………9分

又平面的法向量取為 ……………10分

設與所成的角為，則，

故二面角的平面角大小為 ……………12分

18.　解：(I)記“幸運觀眾獲得獎金5000元”為事件M，即前兩個問題選擇回答A、C且答對，最后在回答問題B時答錯了.

故幸運觀眾獲得獎金5000元的概率為 ………………6分

(II) 設幸運觀眾按A→B→C順序回答問題所得獎金數為隨機變量ξ，則ξ的取值可以為0元、1000元、3000元和7000元，其分布列為

1000

3000

7000

∴ 元. ………………9分

設幸運觀眾按C→B→A順序回答問題所得獎金數為隨機變量η，則η的取值可以為0元、4000元、6000元和7000元，其分布列為

_η

4000

6000

7000

∴ 元. ……11分

故乙觀眾的選擇所獲獎金期望較大. ………………12分

19.解：（1）∵ ……………………2分

由已知對恒成立，即對恒成立

又 ∴ 為所求 …………………………5分

（2）取， ∵ ， ∴

由已知在上是增函數，即，

也就是即 …………8分

另一方面，設函數，則

∴ 在上是增函數，又

∴ 當時，

∴ ，即

綜上所述，………………………………………………13分

20.解：(Ⅰ) 由題意可知，平面區域如圖陰影所示． …3分

設動點為，則

，即．

由知，x－y<0，即x²－y²<0．

所以 y²－x²＝4(y>0)，即為曲線的方程　　…………6分

(Ⅱ)設，，則以線段為直徑的圓的圓心為.

因為以線段為直徑的圓與軸相切，所以半徑，

即 ………………………8分

因為直線AB過點，當AB ^ x軸時，不合題意．

所以設直線AB的方程為 y＝k(x－2)．

代入雙曲線方程y²－x²＝4 (y＞0)得: (k²－1)x²－4k²x＋(8k²－4)＝0．

因為直線l與雙曲線交于A，B兩點，所以k≠±1．于是

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

∴ |AB|=

∴

化簡得：k⁴＋2k²－1＝0 ……………………………11分

解得: k²＝－1 （k²＝－－1不合題意，舍去）．

由△＝(4k²)²－4(k²－1)(8k²－4)＝3k²－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－．

所以直線l存在,其斜率為 k＝－. …………………13分

21.　解：(1) 因為 ,所以,

于是: , 即是以2為公比的等比數列.

1+1

因為

由題設知：，解得：,

又因為且，所以，于是. ……3分

由得：

因為是正整數列, 所以 .

于是是等比數列. 又 , 所以，…………………5分

(2) 由得：.

由及得：…………………6分

設 ①

　　　　　　　 ②

當時，①式減去②式, 得

于是,

這時數列的前項和．……………8分

當時，．這時數列的前項和．…………9分

(3) 證明：通過分析，推測數列的第一項最大，下面證明：

　　　　 ③

由知，要使③式成立，只要，

因為

所以③式成立．

因此，存在，使得對任意均成立． ……………13分

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