第14講 解析幾何問(wèn)題的題型與方法
一、知識(shí)整合
1. 能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和斜率確定的直線的點(diǎn)斜式方程；從直線的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄?xiě)出直線的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來(lái)研究與直線有關(guān)的問(wèn)題了.
2.能正確畫(huà)出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題，并用之解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會(huì)用線性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.
3． 理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.
4．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r＞0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握?qǐng)A的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.
5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫(huà)出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握a、b、c、p、e之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.
二、近幾年高考試題知識(shí)點(diǎn)分析
2004年高考，各地試題中解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為27.1分，占18．1％；2001年以來(lái)，解析幾何內(nèi)容在全卷的平均分值為29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析幾何內(nèi)容，值得我們?cè)诙啅?fù)習(xí)中引起足夠的重視．高考試題中對(duì)解析幾何內(nèi)容的考查幾乎囊括了該部分的所有內(nèi)容，對(duì)直線、線性規(guī)劃、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等內(nèi)容都有涉及．
1．選擇、填空題
1．1 大多數(shù)選擇、填空題以對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查為主，難度以容易題和中檔題為主
（1）對(duì)直線、圓的基本概念及性質(zhì)的考查
例1 （04江蘇）以點(diǎn)(1，2)為圓心，與直線4x+3y-35=0相切的圓的方程是_________．
（2）對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)的考查
例2（04遼寧）已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)P滿足. 當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是
（A） （B） （C） （D）2
1．2 部分小題體現(xiàn)一定的能力要求能力，注意到對(duì)學(xué)生解題方法的考查
例3（04天津文）若過(guò)定點(diǎn)且斜率為的直線與圓在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則的取值范圍是
（A） （B）
（C） （D）
2．解答題
解析幾何的解答題主要考查求軌跡方程以及圓錐曲線的性質(zhì)．以中等難度題為主，通常設(shè)置兩問(wèn)，在問(wèn)題的設(shè)置上有一定的梯度，第一問(wèn)相對(duì)比較簡(jiǎn)單．
例4(04江蘇）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-m,0）(m是大于0的常數(shù)).
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線與y軸交于點(diǎn)M. 若，求直線l的斜率．
本題第一問(wèn)求橢圓的方程，是比較容易的，對(duì)大多數(shù)同學(xué)而言，是應(yīng)該得分的；而第二問(wèn)，需要進(jìn)行分類(lèi)討論，則有一定的難度，得分率不高．
解：（I）設(shè)所求橢圓方程是
由已知，得 所以.
故所求的橢圓方程是
（II）設(shè)Q（），直線
當(dāng)由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得
.
于是 故直線l的斜率是0，.
例5（04全國(guó)文科Ⅰ）設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值.
解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得 （1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
雙曲線的離心率
（II）設(shè)
由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，
例6（04全國(guó)文科Ⅱ）給定拋物線C：F是C的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn).
（Ⅰ）設(shè)的斜率為1，求夾角的大小；
（Ⅱ）設(shè)，求在軸上截距的變化范圍.
解：（Ⅰ）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將代入方程，并整理得
設(shè)則有
所以?shī)A角的大小為
（Ⅱ）由題設(shè) 得
即
由②得， ∵ ∴③
聯(lián)立①、③解得，依題意有
∴又F（1，0），得直線l方程為
當(dāng)時(shí)，l在方程y軸上的截距為
由 可知在[4，9]上是遞減的，
∴
直線l在y軸上截距的變化范圍為
從以上3道題我們不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)解答題而言，橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線都有考查的可能，而且在歷年的高考試題中往往是交替出現(xiàn)的，以江蘇為例，01年考的是拋物線，02年考的是雙曲線，03年考的是求軌跡方程（橢圓），04年考的是橢圓．
三、熱點(diǎn)分析與2005年高考預(yù)測(cè)
1．重視與向量的綜合
在04年高考文科12個(gè)省市新課程卷中，有6個(gè)省市的解析幾何大題與向量綜合，主要涉及到向量的點(diǎn)乘積（以及用向量的點(diǎn)乘積求夾角）和定比分點(diǎn)等，因此，與向量綜合，仍是解析幾何的熱點(diǎn)問(wèn)題，預(yù)計(jì)在05年的高考試題中，這一現(xiàn)狀依然會(huì)持續(xù)下去．
例7（02年新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（－1，3），若點(diǎn)C滿足，其中a、b∈R，且a＋b=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為
（A）（x－1）2＋（y－2）2=5 （B）3x＋2y－11=0
（C）2x－y=0 （D）x＋2y－5=0
例8（04遼寧）已知點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是
（A）圓 （B）橢圓 （C）雙曲線 （D）拋物線
2．考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系幾率較高
在04年的15個(gè)省市文科試題（含新、舊課程卷）中，全都“不約而同”地考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，因此，可以斷言，在05年高考試題中，解析幾何的解答題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的概率依然會(huì)很大．
3．與數(shù)列相綜合
在04年的高考試題中，上海、湖北、浙江解析幾何大題與數(shù)列相綜合，此外，03年的江蘇卷也曾出現(xiàn)過(guò)此類(lèi)試題，所以，在05年的試題中依然會(huì)出現(xiàn)類(lèi)似的問(wèn)題．
例9（04年浙江卷）如圖，ΔOBC的在個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設(shè)P為線段BC的中點(diǎn),P2為線段CO的中點(diǎn),P3為線段OP1的中點(diǎn),對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn),令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn),
（Ⅰ）求及;
（Ⅱ）證明
（Ⅲ）若記證明是等比數(shù)列.
解：(Ⅰ)因?yàn)椋裕钟深}意可知，
∴== ∴為常數(shù)列.∴
(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得
又∵，∴
（Ⅲ）∵
又∵
∴是公比為的等比數(shù)列.
4．與導(dǎo)數(shù)相綜合
近幾年的新課程卷也十分注意與導(dǎo)數(shù)的綜合，如03年的天津文科試題、04年的湖南文理科試題，都分別與向量綜合．
例10（04年湖南文理科試題）如圖，過(guò)拋物線x2=4y的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。
（I）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:
（II）設(shè)直線AB的方程是x-2y+12=0，過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.
解：（Ⅰ）依題意，可設(shè)直線AB的方程為 代入拋物線方程得 ①
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 、、x2是方程①的兩根.
所以
由點(diǎn)P（0，m）分有向線段所成的比為，得
又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（0，－m），從而.
所以
（Ⅱ）由 得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（6，9）、（－4，4）.
由 得 所以拋物線 在點(diǎn)A處切線的斜率為
設(shè)圓C的方程是則
解之得
所以圓C的方程是 即
5．重視應(yīng)用
在歷年的高考試題中，經(jīng)常出現(xiàn)解析幾何的應(yīng)用題，如01年的天津理科試題、03年的上海文理科試題、03年全國(guó)文科舊課程卷試題、03年的廣東試題及江蘇的線性規(guī)劃題等，都是有關(guān)解析幾何的應(yīng)用題．
例11（04年廣東試題）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其他兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s. 已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發(fā)生的位置.(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/ s :相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上)
解：如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A、B、C分別是西、東、北觀測(cè)點(diǎn)，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由A、C同時(shí)聽(tīng)到巨響聲，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點(diǎn)比A點(diǎn)晚4s聽(tīng)到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上，
依題意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北450距中心處.
（二）05年高考預(yù)測(cè)
1．難度：解析幾何內(nèi)容是歷年來(lái)高考數(shù)學(xué)試題中能夠拉開(kāi)成績(jī)差距的內(nèi)容之一，該部分試題往往有一定的難度和區(qū)分度，預(yù)計(jì)這一形式仍將在05年的試題中得到體現(xiàn)．此外，從04年分省（市）命題的情況來(lái)看，在文科類(lèi)15份試卷（含文理合用的試卷）中，有9分試卷（占3/5）用解析幾何大題作為最后一道壓軸題，預(yù)計(jì)這一現(xiàn)狀很有可能在05年試卷中繼續(xù)重現(xiàn)．
2．命題內(nèi)容：從今年各地的試題以及前幾年的試題來(lái)看，解答題所考查的內(nèi)容基本上是橢圓、雙曲線、拋物線交替出現(xiàn)的，所以，今年極有可能考雙曲線的解答題．此外，從命題所追求的目標(biāo)來(lái)看，小題所涉及的內(nèi)容一定會(huì)注意到知識(shí)的覆蓋，兼顧到對(duì)能力的要求．
3．命題的熱點(diǎn)：
（1）與其他知識(shí)進(jìn)行綜合，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題（如與向量綜合，與數(shù)列綜合、與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式綜合等）；
（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于該部分內(nèi)容體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法――用代數(shù)的手段研究幾何問(wèn)題，因此該部分內(nèi)容一直是考試的熱點(diǎn)，相信，在05年的考試中將繼續(xù)體現(xiàn)；
（3）求軌跡方程．
（4）應(yīng)用題．
四、二輪復(fù)習(xí)建議
1．根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，有針對(duì)性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的有效性
由于解析幾何通常有2－3小題和1大題，約占28分左右，而小題以考查基礎(chǔ)為主、解答題的第一問(wèn)也較容易，因此，對(duì)于全市的所有不同類(lèi)型的學(xué)校，都要做好該專(zhuān)題的復(fù)習(xí)，千萬(wàn)不能認(rèn)為該部分內(nèi)容較難而放棄對(duì)該部分內(nèi)容的專(zhuān)題復(fù)習(xí)，并且根據(jù)生源狀況有針對(duì)性地進(jìn)行復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)的有效性．
2．重視通性通法，加強(qiáng)解題指導(dǎo)，提高解題能力
在二輪復(fù)習(xí)中，不能僅僅復(fù)習(xí)概念和性質(zhì)，還應(yīng)該以典型的例題和習(xí)題（可以選用04年的各地高考試題和近兩年的各地高考模擬試題）為載體，在二輪復(fù)習(xí)中強(qiáng)化各類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)解法，使學(xué)生形成解決各種類(lèi)型問(wèn)題的操作范式．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過(guò)程，解題能力只有通過(guò)學(xué)生的自主探究才能掌握．所以，在二輪復(fù)習(xí)中，教師的作用是對(duì)學(xué)生的解題方法進(jìn)行引導(dǎo)、點(diǎn)撥和點(diǎn)評(píng)，只有這樣，才能夠?qū)嵤┯行?fù)習(xí)．
3．注意強(qiáng)化思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，力求規(guī)范解題，盡可能少丟分
在解解析幾何的大題時(shí)，有不少學(xué)生常出現(xiàn)因解題不夠規(guī)范而丟分的現(xiàn)象，因此，要通過(guò)平時(shí)的講評(píng)對(duì)易出現(xiàn)錯(cuò)誤的相關(guān)步驟作必要的強(qiáng)調(diào)，減少或避免無(wú)畏的丟分．
例14（04全國(guó)文科Ⅰ）設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.
（I）求雙曲線C的離心率e的取值范圍：
（II）設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求a的值.
解：（I）由C與t相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組
有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得
（1－a2）x2+2a2x－2a2=0. ①
雙曲線的離心率
還有，在設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式時(shí)，就應(yīng)該注意到直線斜率不存在的情形；又如，在求軌跡方程時(shí)，還要注意到純粹性和完備性等．
五、參考例題
例1、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
解：直線mx+y+2=0過(guò)一定點(diǎn)C(0, -2)，直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過(guò)定點(diǎn)(0, -2)的直線系，因?yàn)橹本�與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2， ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
說(shuō)明：此例是典型的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解題的問(wèn)題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當(dāng)傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當(dāng)直線在∠ACB內(nèi)部變化時(shí)，k應(yīng)大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，當(dāng)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變化時(shí)，也要能求出m的范圍。
例2、已知x、y滿足約束條件
求目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.
解：根據(jù)x、y滿足的約束條件作出可行域，即如圖所示的陰影部分（包括邊界）.
作直線：2x-y=0，再作一組平行于的直線：2x-y=t，t∈R.
可知，當(dāng)在的右下方時(shí)，直線上的點(diǎn)（x，y）滿足2x-y＞0，即t＞0，而且直線往右平移時(shí)，t隨之增大.當(dāng)直線平移至的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)B，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最大；當(dāng)在的左上方時(shí)，直線上的點(diǎn)（x，y）滿足2x-y＜0，即t＜0，而且直線往左平移時(shí)，t隨之減小.當(dāng)直線平移至的位置時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)C，此時(shí)所對(duì)應(yīng)的t最小.
）.
3x+5y-30=0，
所以，=2×5-3=7；=2×1-=.
例3、 已知⊙M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線MQ的方程；
（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
解:（1）由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中，
故，
所以直線AB方程是
（2）連接MB，MQ，設(shè)由
點(diǎn)M，P，Q在一直線上，得
由射影定理得
即 把（*）及（**）消去a，
并注意到，可得
說(shuō)明：適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在。
例4、已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.
解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.
故所求雙曲線方程為
（2）把中消去y，整理得 .
設(shè)的中點(diǎn)是，則
即
故所求k=±.
說(shuō)明：為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.
例5、已知橢圓的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，向量與是共線向量。
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)， 、分別是左、右焦點(diǎn)，求∠ 的取值范圍；
解：（1）∵，∴。
∵是共線向量，∴，∴b=c,故。
（2）設(shè)
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，cosθ=0，∴θ。
說(shuō)明：由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問(wèn)題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問(wèn)題。求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析幾何問(wèn)題。
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