北京市宣武區(qū)2008―2009學(xué)年度第二學(xué)期第一次質(zhì)量檢測
高 三 數(shù) 學(xué)(文) 2009.4
本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,共8頁,全卷滿分150分,考試時間為120分鐘。
第I卷(選擇題 共40分)
一、選擇題(本大題共有8個小題,每小題5分,共40分;在每個小題給出的四個選項中,有且僅有一個是符合題目要求的)
1.已知集合
,集合
,集合
,則
A.
B.
C.
D.![]()
2.若
是空間兩條不同的直線,
是空間的兩個不同的平面,則
的一個充分不必要條件是
A.
B.![]()
C.
D.![]()
3.函數(shù)
的反函數(shù)是
A.
B.![]()
C.
D.![]()
4.已知
滿足條件
,則
的取值范圍是
A.
B.
C.
D.![]()
5.在等差數(shù)列
中,
則![]()
A.24
B.
6.直線
上的點到圓
上的點的最近距離是
A.
B.
C.
D.1
7.一次演出,原計劃要排4個節(jié)目,因臨時有變化,擬再添加2個小品節(jié)目,若保持原有4個節(jié)目的相對順序不變,則這6個節(jié)目不同的排列方法有
A.20種 B.25種 C.30種 D.32種
8.連結(jié)球面上兩點的線段稱為球的弦,半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別為和,M,N分別是AB、CD 的中點,兩條弦的兩端都在球面上運(yùn)動,有下面四個命題:
① 弦AB、CD可能相交于點M;
② 弦AB、CD可能相交于點N;
③ MN的最大值是5;
④ MN的最小值是1。
其中所有正確命題的序號為
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題(本大題共6個小題,每小題5分,共30分;把答案填在相應(yīng)的位置上)
9.函數(shù)
的定義域是
10.已知
,則
11.若
展開式的二項式系數(shù)之和為256,則
=_________,其展開式的常數(shù)項等于
__________。(用數(shù)字作答)
12.已知兩個向量
,若
,則
的值為
13.等比數(shù)列
中,
則
=
14.設(shè)函數(shù)
表示不超過實數(shù)
的最大正數(shù),則函數(shù)
的值域是
三、解答題(本大題共6個大題,共80分;解答應(yīng)寫出必要的文字說明,證明過程及演算步驟)
15.(本題滿分13分)
已知
的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊飯分別為
,向量![]()
![]()
(1) 求角B;
(2)
若
,判斷
的形狀。
16.(本題滿分13分)
每次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6)
(1) 連續(xù)拋擲3次,求向上的點數(shù)互不相同的概率;
(2) 連續(xù)拋擲3次,求向上的點數(shù)之和為6的概率;
(3) 連續(xù)拋擲6次,求向上的點數(shù)為奇數(shù)且恰好出現(xiàn)4次的概率。
17.(本題滿分13分)
如圖,已知四棱錐
的底面的菱形,
,點
是
邊的中點,
交于點
,![]()
(1)求證:
;
(2)若
的大小;
(3)在(2)的條件下,求異面直線
與
所成角的余弦值。
18.(本題滿分13分)
設(shè)定義在R上的函數(shù)![]()
當(dāng)
時
取得極大值
,且函數(shù)
的圖象關(guān)于點
對稱。
(1)求函數(shù)
的表達(dá)式;
(2)試在函數(shù)
的圖象上求兩點,使以這兩點為切點的切線互相垂直,且切點的橫坐標(biāo)都在區(qū)間
上;
19. (本題滿分14分)
已知拋物線
,直線
交拋物線C于A、B兩點,M是線段AB的中點,過M作
軸的垂線交拋物線C于點N,
(1)
證明:拋物線C在N點處的切線
與AB平行;
(2)
是否存在實數(shù)
,使得
。若存在,求出
的值;若不存在,說明理由。
20. (本題滿分14分)
由函數(shù)
確定數(shù)列
,
,函數(shù)
的反函數(shù)
能確定數(shù)列
,
若對于任意
都有
,則稱數(shù)列
是數(shù)列
的“自反函數(shù)列”
(1)
設(shè)函數(shù)
,若由函數(shù)
確定的數(shù)列
的自反數(shù)列為
,求
;
(2)
已知正整數(shù)列
的前項和
。寫出
表達(dá)式,并證明你的結(jié)論;
(3)
在(1)和(2)的條件下,
,當(dāng)
時,設(shè)
,
是數(shù)列
的前
項和,且
恒成立,求
的取值范圍。
北京市宣武區(qū)2008―2009學(xué)年度第二學(xué)期第一次質(zhì)量檢測
一、選擇題(本大題共有8個小題,每小題5分,共40分;在每個小題給出的四個選項中有且僅有一個符合題目要求的)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
A
C
C
A
二、填空題(本大題共有6個小題,每小題5分,共30分;請把答案填在相應(yīng)的位置)
題號
9
10
11
12
13
14
答案
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image203.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image205.gif)
8,70
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image207.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image209.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image211.gif)
三、解答題
15.(本題滿分13分)
解:(1)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image213.gif)
(2)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image215.gif)
當(dāng)
時,此時
,
為直角三角形;
當(dāng)
時,
為直角三角形。
16. (本題滿分13分)
解:(1)向上的點數(shù)互不相同的概率為2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image224.gif)
(2)向上的點數(shù)之和為6的結(jié)果有2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image226.gif)
共10中情況,
所以2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image230.gif)
(3)因為每次拋擲骰子,向上的點數(shù)為奇數(shù)的概率為2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image232.gif)
所以根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式得
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image234.gif)
17.(本題滿分13分)
解:解答一:(1)在菱形
中,連接
則
是等邊三角形。
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image242.gif)
(2)2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image244.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image248.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image250.gif)
(3)取
中點
,連結(jié)2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image256.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image258.gif)
解法二:(1)同解法一;
(2)過點
作
平行線交
于
,以點
為坐標(biāo)原點,建立如圖的坐標(biāo)系
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image269.gif)
二面角
的大小為2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image275.gif)
(3)由已知,可得點2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image277.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image279.gif)
即異面直線
所成角的余弦值為2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image283.gif)
18.(本題滿分13分)
解:(1)將函數(shù)
的圖象向右平移一個單位,得到函數(shù)
的圖象,
函數(shù)
的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,即函數(shù)
是奇函數(shù),
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image290.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image292.gif)
由題意得:2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image294.gif)
所以2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image296.gif)
(2)由(1)可得2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image298.gif)
故設(shè)所求兩點為2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image300.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image302.gif)
滿足條件的兩點的坐標(biāo)為:2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image305.gif)
19. (本題滿分14分)
解:(1)由
,
設(shè)2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image309.gif)
則2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image311.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image313.gif)
由知,拋物線C在點N處是切線
的斜率2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image316.gif)
因此,拋物線C在點N處的切線與直線AB平行。
(2)假設(shè)存在實數(shù)
,使得
,則2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image320.gif)
由M是線段AB的中點。
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image322.gif)
由
軸,知2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image326.gif)
解得
(舍去)
存在實數(shù)
,使得2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image160.gif)
20. (本題滿分14分)
解:(1)由題意得
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image335.gif)
(2)
正整數(shù)
的前
項和2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image185.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image342.gif)
解之得2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image344.gif)
當(dāng)
時,2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image347.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image349.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image351.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image353.gif)
以上各式累加,得2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image355.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image357.gif)
(3)在(1)和(2)的條件下,2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image359.gif)
當(dāng)
時,設(shè)
,由
是數(shù)列
的前
項和
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image367.gif)
綜上2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image369.gif)
因為
恒成立,所以
小于
的最小值,顯然
的最小值在
時取得,即2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image378.gif)
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image380.gif)
滿足的條件是
2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image384.gif)
解得2009屆高三一模(數(shù)學(xué)文).files/image386.gif)
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