北京市宣武區2008―2009學年度第二學期第一次質量檢測
高 三 數 學（理） 2009.4
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共8頁，全卷滿分150分，考試時間為120分鐘。
第I卷（選擇題 共40分）
一、選擇題（本大題共有8個小題，每小題5分，共40分；在每個小題給出的四個選項中，有且僅有一個是符合題目要求的）
1．已知集合
，則
等于
A．
B．
C．
D．
2．若
是空間兩條不同的直線，
是空間的兩個不同的平面，則
的一個充分不必要條件是
A．
B．
C．
D．
3．函數
的反函數是
A．
B．
C．
D．
4．已知兩個向量
，若
，則
的值是
A．1 B．
D．
5．已知
滿足條件
，則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
6．一次演出，原計劃要排4個節目，因臨時有變化，擬再添加2個小品節目，若保持原有4個節目的相對順序不變，則這6個節目不同的排列方法有
A．30種 B．25種 C．24種 D．20種
7．已知
是等比數列，
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
8．已知定義域是全體實數的函數
滿足
，且函數
，函數
，現定義函數
為：
其中
那么下列關于
敘述正確的是
A．都是奇函數且周期為
B．都是偶函數且周期為
C．均無奇偶性但都有周期性 D．均無周期性但都有奇偶性
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分；把答案填在相應的位置上）
9．設i為虛數單位，則復數
=___________。
10．若
展開式的二項式系數之和為256，則
=_________，其展開式的常數項等于
__________。（用數字作答）
11．在等差數列中，已知
12．設函數
的圖象關于點
成中心對稱，若
，則
_______
13．以雙曲線
的離心率為半徑，以右焦點為圓心的圓與該雙曲線的漸近線相切，則
__________。
14．連結球面上兩點的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦
的長度分別為
和
分別是的中點，兩條弦的兩端都在球面上運動，有下面四個命題：
①弦可能相交于點
；
②弦可能相交于點
；
③
的最大值是5；
④的最大值是1；
其中所有正確命題的序號為_______________。
三、解答題（本大題共6個大題，共80分；解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟）
15．（本題滿分13分）
已知函數
的最小正周期為
。
（1）求
的值；
（2）設
的三邊
滿足
,且邊
所對的角為，求此時
的值域
16．（本題滿分13分）
將3封不同的信投進
這4個不同的信箱，假設每封信投入每個信箱的可能性相等
（1）求這3封信分別被投進3個信箱的概率；
（2）求恰有2個信箱沒有信的概率；
（3）求
信箱中的信封數量的分布列和數學期望。
17．(本題滿分13分)
如圖，已知四棱錐
的底面的菱形，
，點
是
邊的中點，
交于點
，
（1）求證：
；
（2）若
的大��；
（3）在（2）的條件下，求異面直線
與
所成角的余弦值。
18．（本題滿分13分）
設定義在R上的函數
當
時取得極大值
，且函數
的圖象關于點
對稱。
（1）求函數的表達式；
（2）試在函數的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間
上；
（3）設
，求證：
。
19．（本題滿分14分）
已知
分別是橢圓
的左、右焦點，曲線
是以坐標原點為頂點，以
為焦點的拋物線，自點
引直線交曲線
兩個不同的交點，點
關于軸的對稱點記為
設
（1）求曲線的方程；
（2）證明：
；
（3）若
的取值范圍。
20．（本題滿分14分）
已知數列中，
取得極值。
（1）求證：數列
是等比數列；
（2）若
，求數列
的的前項和
；
（3）當
時，數列中是否存在最大項？如果存在，說明是第幾項；如果不存在，請說明理由。
北京市宣武區2008―2009學年度第二學期第一次質量檢測
一、選擇題（本大題共有8個小題，每小題5分，共40分；在每個小題給出的四個選項中有且僅有一個符合題目要求的）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
C
B
A
C
B
二、填空題（本大題共有6個小題，每小題5分，共30分；請把答案填在相應的位置）
題號
9
10
11
12
13
14
答案
-1+
8,70
24
①③④
三、解答題（本大題共6個小題，共80分；解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分13分）
解：（1）
（2）由題意，得
16．（本題滿分13分）
解：（1）這3封信分別被投進3個信箱的概率為
（2）恰有2個信箱沒有信的概率為
（3）設信箱
中的信箱數為
0
1
2
3
17．（本題滿分13分）
解：解答一：（1）在菱形
中，連接
則
是等邊三角形。
（2）
（3）取
中點
，連結
解法二：（1）同解法一；
（2）過點
作平行線交
于
,以點為坐標原點,建立如圖的坐標系
二面角
的大小為
（3）由已知，可得點
即異面直線
所成角的余弦值為
18．（本題滿分13分）
解：（1）將函數
的圖象向右平移一個單位，得到函數
的圖象，
函數的圖象關于點（0，0）對稱，即函數是奇函數，
由題意得：
所以
（2）由（1）可得
故設所求兩點為
滿足條件的兩點的坐標為：
（3）
19．（本題滿分14分）
解：（1）橢圓
的右焦點
的坐標為（1，0），
（2）
（3）由（2）知
20．（本題滿分14分）
解：（1）
（2）由（1）知
（3）
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