秘密★啟用前
2008年廣州市高三教學質量抽測試題
數 學（文科）
2008．1
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答選擇題前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考試科目填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將相應的信息點涂黑．
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將試卷和答題卡一并交回．
參考公式：
錐體的體積公式
，其中
是錐體的底面積，
是錐體的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．集合
的真子集的個數為
A．6
B．
2．不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
3．函數
的一個單調遞增區間為
A．
B．
C．
D．
4．已知等比數列
的前三項依次為
，
，
，則
A．
B．
C．
D．
5．拋物線
上一點
到焦點的距離為3，則點的橫坐標
A．1
B．
6．設復數
滿足
，則
A．
B．
C．
D．
7．已知向量
，
，若
，則
A．
B．
C．1 D．3
8．如圖1所示，是關于閏年的流程，則以下年份是
閏年的為
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年
9．已知
，
是平面，
，
是直線，給出下
列命題
①若
，
，則
．
②若
，
，
，
，則
．
③如果
、n是異面直線，那么
相交．
④若
，∥，且
，則∥且∥．
其中正確命題的個數是
A．4 B．
10．函數
，若
（其中
、
均大于２），則
的最小值為
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．
11．某校對全校男女學生共1600名進行健康調查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生抽了95人，則該校的女生人數應是 人．
12．已知雙曲線
的離心率為2，則實數
．
13．如圖2所示，函數
的圖象在點P處的切線方程是
，則
，
．
14．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，點
到直線
的距離為 ．
15．（幾何證明選講選做題）如圖3所示，
與
是
的直徑，
，
是延長線上一點，連
交于點
，連
交于點
，若
，則
．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知射手甲射擊一次，命中9環（含9環）以上的概率為0.56，命中8環的概率為0.22，命中7環的概率為0.12．
（1）求甲射擊一次，命中不足8環的概率；
（2）求甲射擊一次，至少命中7環的概率.
17．（本小題滿分12分）
在△
中，角
所對的邊分別為
，已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
18．（本小題滿分14分）
如圖4所示，四棱錐
中，底面
為正方
形，
平面，
，，，
分
別為、
、
的中點．
（1）求證：
平面
；
（2）求三棱錐
的體積．
19．（本小題滿分14分）
已知曲線
上任意一點到兩個定點
和
的距離之和為4．
（1）求曲線的方程；
（2）設過
的直線
與曲線交于
、
兩點，且
（
為坐標原點），求直線的方程．
20．（本小題滿分14分）
設函數
（1）求函數
的極大值；
（2）若
時，恒有
成立（其中
是函數
的導函數），試確定實數a的取值范圍．
21．（本小題滿分14分）
已知數列
中，
，
，其前項和
滿足
（
，
）．
（1）求數列的通項公式；
（2）設
為非零整數，），試確定
的值，使得對任意，都有
成立．
2008年廣州市高三教學質量抽測
說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．
2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
B
A
D
A
C
B
10．方法1：由
，得
，
即
．
于是
，
所以
．
方法2：由，得，
即．
于是
，
則
（其中
），再利用導數的方法求解．
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共5小題，每小題5分，滿分20分．
11．760 12．12
13．3；－1
14．
15．3
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查互斥事件等基礎知識，考查運算求解能力）
解：記“甲射擊一次，命中7環以下”為事件，“甲射擊一次，命中7環”為事件，由于在一次射擊中，與不可能同時發生，故與是互斥事件，
（1）“甲射擊一次，命中不足8環”的事件為
，
由互斥事件的概率加法公式，
．
答：甲射擊一次，命中不足8環的概率是0.22．…………………………………6分
（2）方法1：記“甲射擊一次，命中8環”為事件
，“甲射擊一次，命中9環（含9環）以上”為事件
，則“甲射擊一次，至少命中7環”的事件為
，
∴
．
答：甲射擊一次，至少命中7環的概率為0.9．…………………………………12分
方法2：∵“甲射擊一次，至少命中7環”為事件
，
∴
=1－0.1＝0.9．
答：甲射擊一次，至少命中7環的概率為0.9．…………………………………12分
17．（本小題滿分12分）
（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力）
解：（1）由余弦定理，
，………………………………………2分
得
，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得
，………………………………8分
，………………………10分
∵是
的內角，
∴
．………………………………………………………12分
方法2：∵
，且是的內角，
∴
．………………………………………………………8分
根據正弦定理，
，……………………………………………………10分
得
． ……………………………………………12分
18．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查空間中線面關系，考查數形結合的數學思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力）
（1）證法1：如圖，取
的中點
，連接
，
∵
分別為
的中點，∴
．
∵
分別為
的中點，∴
．
∴
．
∴
四點共面．………………………………………………………………2分
∵
分別為
的中點，∴
．……………………………………4分
∵
平面
，
平面，
∴
平面．……………………………………………………………………6分
證法2：∵
分別為
的中點，
∴，
．……………………………………………………………2分
∵
，∴
．
∵
，
，∴平面
平面
． …………………5分
∵
平面，∴平面． …………………………………………6分
（2）解：∵
平面
，
平面，∴
．
∵為正方形，∴
．
∵
，∴
平面
．……………………………………………8分
∵
，
，∴
．……………10分
∵
，
∴
．…………………………………14分
19．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查橢圓方程的定義等基礎知識，考查分類與整合、數形結合的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）
解：（1）根據橢圓的定義，可知動點
的軌跡為橢圓，………………………………1分
其中
，
，則
．………………………………………2分
所以動點M的軌跡方程為
．………………………………………………4分
（2）當直線
的斜率不存在時，不滿足題意．………………………………………5分
當直線的斜率存在時，設直線的方程為
，設
，
，
∵
，∴
．……………………………………………7分
∵
，
，
∴
．
∴ 
．………… ① …………………………9分
由方程組
得
．…………………………………………………11分
則
，
，
代入①，得
．
即
，解得，
或
．………………………………………………13分
所以，直線的方程是
或
．………………………………14分
20．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查函數與導數的概念、不等式及其性質等基礎知識，考查分類討論、化歸與轉化、數形結合的數學思想方法，以及抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力和創新意識）
解：（1）∵
，且
，…………………………………1分
當
時，得
；當
時，得
；
∴
的單調遞增區間為
；
的單調遞減區間為
和
．…………………………………3分
故當
時，有極大值，其極大值為
． …………………4分
（2）∵
，
當
時，
，
∴
在區間
內是單調遞減．…………………………………………6分
∴
．
∵
，∴
此時，
．…………………………………………………………………………9分
當
時，
．
∵，∴
即
……11分
此時，
．……………………………………………………………13分
綜上可知，實數
的取值范圍為
．…………………………………14分
21．（本小題滿分14分）
（本小題主要考查等差數列、不等式及其性質等基礎知識，考查分類討論、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）
解：（1）由已知，
（
，
）， …………………2分
即
（，），且
．
∴數列
是以
為首項，公差為1的等差數列．
∴
．……………………………………………………………………………4分
（2）∵，∴
，要使
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立．……………………………………………………………6分
（?）當
為奇數時，即
恒成立，…………………………………………7分
當且僅當
時，
有最小值為1，
∴
．………………………………………………………………………………9分
（?）當為偶數時，即
恒成立，………………………………………10分
當且僅當
時，
有最大值
，
∴
．……………………………………………………………………………12分
即
，又
為非零整數，則
．
綜上所述，存在，使得對任意，都有
．…………………14分
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com