甘肅省西北師大附中2009屆高三5月最后一考
數(shù)學理科
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一個選項是符合題目要求的)
1.
的值為( )
A.
B.
C.
D.![]()
2.如果復(fù)數(shù)
,則
的展開式(按
的升冪排列)的第5項是( )
A .35 B.
C.
D.
3.已知
為偶函數(shù),且
,當
時,
,若
則
( )
A.
B.
C.
D.![]()
4.已知
,則下列結(jié)論中正確的是( )
A.函數(shù)
的周期為
B.函數(shù)
的最小值為![]()
C.將
的圖象向左平移
單位后得
的圖象
D.將
的圖象向右平移
單位后得
的圖象
5.設(shè)斜率為
的直線
與橢圓
交于不同的兩點。且這兩點在
軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點,則該橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.![]()
6.在樣本的頻率分布直方圖中,共有
個小長方形,若其中一個小長方形的面積等于其他
個小長方形面積和的四分之一,樣本容量為
,則該小長方形這一組的頻數(shù)為(
)
A.32 B.
7. 已知函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,那么實數(shù)
的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.![]()
8.如右圖所示的幾何體ABCDEF中,ABCD是平行四邊形且AE∥CF,
六個頂點任意兩點連線能組成異面直線的對數(shù)是( )
A.36 B.28 C.39 D.20
9. 設(shè)實數(shù)
滿足
,則有(
)
A.
B.
C.
D.![]()
10.在平面直角坐標系中,已知點
,如果動點P滿足
,
那么
的最大值是( )
A.
B.1 C.
D.![]()
11.若
條件滿足
則
的最小值為( )
A.
B.
C.
D.![]()
12. 已知
在區(qū)間
上是減函數(shù),那么
( )
A.有最大值
B.有最大值
C.有最小值
D.有最小值![]()
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上)
13.不等式(x-1)|x2-2x-3|≥0的解集為_________.
14.霓紅燈的一個部位由七個小燈泡組成,如圖:○○○○○○○,每個燈泡均可亮出紅色或黃色,現(xiàn)設(shè)計每次變換只閃亮其中三個燈泡,且相鄰兩個不同時亮,則一共可呈現(xiàn)____________種不同的變換形式.(用數(shù)字作答)
15.已知
的三個頂點在同一球面上,
若球心
到平面
的距離為1,則該球的半徑
16.已知
且關(guān)于
的函數(shù)
在
上有極值,則
的夾角范圍為
答題卡
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
題號
13
14
15
16
答案
三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)
已知
為坐標原點,![]()
![]()
⑴求
的單調(diào)遞增區(qū)間;
⑵若
的定義域為
,值域為
,求
的值
18.(本小題滿分10分)從北京到西安的某三列火車正點到達的概率分別為
。求
⑴這三列火車恰有兩列正點到達的概率;
⑵這三列火車正點到達列數(shù)
的數(shù)學期望
19.(本小題滿分12分)
如圖,已知四棱錐P―ABCD的底面是直角梯形,
,AB=BC=PB=PC=2CD=2,側(cè)面
底面ABCD,O是BC中點,AO交BD于E.
(1)求證:
;(2)求二面角
的大小;
(3)求證:平面
平面PAB.
20.(本題滿分12分)
設(shè)
是正數(shù)組成的數(shù)列,其前
項和為
,并且對于所有的正整數(shù)
,
與
的等差中項等于
與
的等比中項,
Ⅰ求數(shù)列
的通向公式;
Ⅱ 令
,求![]()
21. (本小題滿分13分)
22. (本小題滿分13分)
已知函數(shù)
為實常數(shù)。
⑴若
在
上是單調(diào)函數(shù),求
的取值范圍
⑵當
時,求
的最小值;
⑶設(shè)各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列
滿足
,證明:![]()
一、A;A;C;D;A;A; C;C;B; D;C;A
二、13、
或
; 14、80; 15、
;16、
;
17、解:⑴----理科數(shù)學.files/image245.gif)
………………………………………3分
時,由
得函數(shù)的遞增區(qū)間為----理科數(shù)學.files/image253.gif)
時,由
得函數(shù)的遞增區(qū)間為
…………………………………………5分
⑵----理科數(shù)學.files/image261.gif)
……………………………………………7分
時,
得:
(舍)
時,
得----理科數(shù)學.files/image271.gif)
綜上,
……………………………………………………10分
18、解:用
分別表示三列火車正點到達的事件,則
----理科數(shù)學.files/image277.gif)
⑴恰有兩列火車正點到達的概率記為
,則
……………………………………………4分
⑵三列火車正點的列數(shù)分別為
。則
----理科數(shù)學.files/image285.gif)
----理科數(shù)學.files/image287.gif)
----理科數(shù)學.files/image289.gif)
……………………………………………………………8分
…………………………10分
19.解:方法一:(I)證明:
,
又
平面
平面ABCD,平面
平面ABCD=BC,
----理科數(shù)學.files/image303.gif)
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中,可得----理科數(shù)學.files/image307.gif)
,即----理科數(shù)學.files/image311.gif)
在平面ABCD內(nèi)的射影為AO,
……4分
(II)解:
,且平面
平面ABCD
平面PBC,
平面PBC,----理科數(shù)學.files/image323.gif)
為二面角P―DC―B的平面角 ……6分
是等邊三角形
即二面角P―DC―B的大小為
…8分
(III)證明:取PB的中點N,連結(jié)CN,
①
,且平面
平面ABCD,
平面PBC ……10分
平面PAB
平面
平面PAB ②
由①、②知
平面PAB…………..10分
連結(jié)DM、MN,則由MN//AB//CD,
,
得四邊形MNCD為平行四邊形,
,
平面PAB.
平面PAD
平面
平面PAB ……………….12分
方法二:取BC的中點O,因為
是等邊三角形,
由側(cè)面
底面ABCD 得
底面ABCD ……1分
以BC中點O為原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O―xyz……2分
----理科數(shù)學.files/image359.gif)
(I)證明:
,則在直角梯形中,----理科數(shù)學.files/image363.gif)
在等邊三角形PBC中,
……3分
----理科數(shù)學.files/image367.gif)
----理科數(shù)學.files/image371.gif)
,即
…4分
(II)解:取PC中點N,則----理科數(shù)學.files/image377.gif)
----理科數(shù)學.files/image379.gif)
平面PDC,顯然
,且
平面ABCD
所夾角等于所求二面角的平面角 ……6分
----理科數(shù)學.files/image389.gif)
,
二面角
的大小為
……8分
(III)證明:取PA的中點M,連結(jié)DM,則M的坐標為----理科數(shù)學.files/image395.gif)
又
……10分
,----理科數(shù)學.files/image401.gif)
即----理科數(shù)學.files/image405.gif)
平面PAB,
平面
平面PAB ……12分
20.解:Ⅰ由已知得:
……………………………………2分
當
解得:
…………………………………………3分
當
時,
,帶入上式得:----理科數(shù)學.files/image417.gif)
配方得:----理科數(shù)學.files/image419.gif)
所以
……………………………………………5分
所以
……………………………………7分
Ⅱ----理科數(shù)學.files/image425.gif)
………………………………………………………………9分
…………………11分
…………………………………………………………12分
22.解:⑴
;----理科數(shù)學.files/image483.gif)
當
時,
;
令
,該二次函數(shù)的對稱軸為----理科數(shù)學.files/image490.gif)
當
時,設(shè)
,
,則
;
當
時,要使
在
上是單調(diào)函數(shù),只能為
上的減函數(shù)
故函數(shù)
在
上滿足:
或
,解得
。綜上
…………5分
⑵當
時,
;
當
;當----理科數(shù)學.files/image511.gif)
----理科數(shù)學.files/image513.gif)
所以
…………………………………………………8分
⑶反證法:不妨設(shè)
,由⑵知----理科數(shù)學.files/image519.gif)
所以----理科數(shù)學.files/image521.gif)
所以----理科數(shù)學.files/image523.gif)
----理科數(shù)學.files/image525.gif)
----理科數(shù)學.files/image527.gif)
所以
;
因為
時,
這與上面的結(jié)論矛盾,故----理科數(shù)學.files/image535.gif)
同理
……………………………………………13分
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