廣東省深圳外國語學校2008屆高三第三次質量檢測
數學(文科)試題
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分， 第Ⅰ卷為1－10題，共50分，第Ⅱ卷為11－21題，共100分.全卷共計150分�？荚嚂r間為120分鐘.
注意事項：
參考公式：
如果事件試題.files/image002.gif)
、試題.files/image004.gif)
互斥，那么試題.files/image006.gif)
如果事件、相互獨立，那么試題.files/image009.gif)
球的表面積公式 試題.files/image011.gif)
球的體積公式 試題.files/image013.gif)
其中試題.files/image015.gif)
表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．Ｍ＝試題.files/image017.gif)
，Ｎ＝試題.files/image019.gif)
，則集合Ｍ試題.files/image021.gif)
Ｎ＝( ).
A.{試題.files/image023.gif)
} B.{試題.files/image025.gif)
} C.{試題.files/image027.gif)
} D. {試題.files/image029.gif)
}
2. 復數試題.files/image031.gif)
的值是( ).
A．2 B. 試題.files/image033.gif)
C.
試題.files/image035.gif)
D.
試題.files/image037.gif)
3. 已知試題.files/image039.gif)
，試題.files/image041.gif)
，試題.files/image043.gif)
，則向量試題.files/image045.gif)
在向量試題.files/image047.gif)
上的投影為（ ）.
A試題.files/image049.gif)
試題.files/image051.gif)
B試題.files/image053.gif)
C試題.files/image055.gif)
D試題.files/image057.gif)
4. 方程試題.files/image059.gif)
試題.files/image061.gif)
上有解，則試題.files/image063.gif)
的取值范圍是（ ）.
A．試題.files/image065.gif)
B．試題.files/image067.gif)
C．試題.files/image069.gif)
D．試題.files/image071.gif)
5．“試題.files/image073.gif)
”是“直線試題.files/image075.gif)
與直線試題.files/image077.gif)
相互垂直”的（ ）
A
充分必要條件 B
充分而不必要條件
C
必要而不充分條件 D
既不充分也不必要條件
6. 等差數列試題.files/image079.gif)
中，試題.files/image081.gif)
是前n項和，且試題.files/image083.gif)
，則試題.files/image085.gif)
的值為( ).
7. 為了得到函數試題.files/image094.gif)
的圖象，可以將函數試題.files/image096.gif)
的圖象( ).
A.向右平移試題.files/image098.gif)
個單位
B.向右平移試題.files/image100.gif)
個單位
C.向左平移個單位
D.向左平移個單位
8.若橢圓試題.files/image104.gif)
的離心率試題.files/image106.gif)
,則試題.files/image108.gif)
的值為( ).
A.試題.files/image110.gif)
B.試題.files/image112.gif)
或試題.files/image114.gif)
C.
D.或試題.files/image117.gif)
9. 在棱長為試題.files/image090.gif)
的正方體試題.files/image120.gif)
中，點試題.files/image122.gif)
，試題.files/image124.gif)
分別是棱試題.files/image126.gif)
，試題.files/image128.gif)
的中點，則點試題.files/image130.gif)
到平面試題.files/image132.gif)
的距離是( ).
A.試題.files/image134.gif)
B.試題.files/image136.gif)
C.試題.files/image138.gif)
D.試題.files/image140.gif)
10．10.定義試題.files/image142.gif)
的運算分別對應下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下圖中的（A）、（B）所對應的運算結果可能是
試題.files/image143.gif)
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A.試題.files/image145.gif)
B.試題.files/image147.gif)
C.試題.files/image149.gif)
D.試題.files/image151.gif)
第Ⅱ部分（非選擇題，共100分）
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分，其中14，15題是選做題，考生只能選做一題,，若兩題全都做的，只計算前一題的得分．
11. 函數試題.files/image153.gif)
的單調遞減區間是
.
12.甲、乙兩人獨立的解決一個問題，甲能解決這個問題的概率為試題.files/image155.gif)
，乙能解決這個問題的概率為試題.files/image157.gif)
，那么甲乙兩人中至少有一人解決這個問題的概率是
.
13．設試題.files/image159.gif)
、試題.files/image161.gif)
滿足條件試題.files/image163.gif)
，則試題.files/image165.gif)
試題.files/image167.gif)
的最小值
.
14．(坐標系與參數方程選做題)自極點試題.files/image169.gif)
向直線試題.files/image171.gif)
做垂線，垂足為試題.files/image173.gif)
，則直線的極坐標方程是 .
15．(幾何證明選講選做題)已知圓的直徑試題.files/image175.gif)
，試題.files/image177.gif)
為圓上一點，過作試題.files/image180.gif)
于試題.files/image182.gif)
（試題.files/image184.gif)
），若試題.files/image186.gif)
，則試題.files/image188.gif)
的長為
.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分12分) 在試題.files/image190.gif)
中，試題.files/image192.gif)
，試題.files/image194.gif)
試題.files/image196.gif)
（Ⅰ）求角的大��；
（Ⅱ）若邊的長為試題.files/image200.gif)
，求邊的長
試題.files/image203.gif)
17．（本小題滿分13分）如圖,在直三棱柱試題.files/image205.gif)
中, 試題.files/image207.gif)
, 試題.files/image209.gif)
, 試題.files/image211.gif)
, 試題.files/image213.gif)
, 點是的中點.
(1)求證:試題.files/image217.gif)
;
(2)求證:試題.files/image219.gif)
∥平面試題.files/image221.gif)
.
18.(本小題滿分13分)設數列試題.files/image223.gif)
的前試題.files/image225.gif)
項和為試題.files/image227.gif)
，點試題.files/image229.gif)
均在函數試題.files/image231.gif)
的圖像上.
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）設試題.files/image233.gif)
，試題.files/image235.gif)
是數列試題.files/image237.gif)
的前項和，求使得試題.files/image239.gif)
對所有試題.files/image241.gif)
都成立的最小正整數.
19.(本小題滿分14分)已知圓過點試題.files/image245.gif)
試題.files/image247.gif)
, 且在軸上截得的弦試題.files/image250.gif)
的長為試題.files/image252.gif)
.
(1) 求圓的圓心的軌跡方程；
(2) 若試題.files/image254.gif)
, 求圓的方程.
20.(本小題滿分14分）已知函數試題.files/image256.gif)
,試題.files/image258.gif)
（Ⅰ）若函數試題.files/image260.gif)
的最小值是試題.files/image262.gif)
，且試題.files/image264.gif)
，求試題.files/image266.gif)
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，試題.files/image268.gif)
在區間試題.files/image270.gif)
恒成立，試求試題.files/image272.gif)
的取值范圍；
（Ⅲ）令試題.files/image274.gif)
,若試題.files/image276.gif)
,又的圖象在軸上截得的弦的長度為，且
試題.files/image281.gif)
，試確定試題.files/image283.gif)
的符號.
21.(本小題滿分14分）已知函數試題.files/image285.gif)
，其中試題.files/image287.gif)
．
（Ⅰ）當試題.files/image289.gif)
時，求曲線試題.files/image291.gif)
在點試題.files/image293.gif)
處的切線方程；
（Ⅱ）當試題.files/image295.gif)
時，求函數的單調區間與極值．
廣東省深圳外國語學校2008屆高三第三次質量檢測
一、選擇題：本大題每小題5分，滿分50分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
A
A
C
B
A
B
D
D
B
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分，其中14，15題是選做題，考生只能選做一題,，若兩題全都做的，只計算前一題的得分．
11.(2,+∞) 12.試題.files/image298.gif)
13. 4 14.試題.files/image300.gif)
15. 9
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）∵
試題.files/image302.gif)
， ………………1分
∴ 試題.files/image304.gif)
試題.files/image196.gif)
………………4分
又 ∵ 試題.files/image306.gif)
， ∴ 試題.files/image308.gif)
…………………5分
（Ⅱ）由試題.files/image310.gif)
且試題.files/image312.gif)
，…………………7分
得試題.files/image314.gif)
…………………………9分
由正弦定理 試題.files/image316.gif)
， 得試題.files/image318.gif)
……………………12分
試題.files/image320.gif)
17．（本小題滿分13分）
證明: (1) ∵ 三棱柱試題.files/image205.gif)
為直三棱柱,
∴ 試題.files/image322.gif)
平面試題.files/image324.gif)
, ∴試題.files/image326.gif)
,
∵ 試題.files/image207.gif)
, 試題.files/image209.gif)
, 試題.files/image211.gif)
,
∴ 試題.files/image328.gif)
,
∴ 試題.files/image330.gif)
, 又 試題.files/image332.gif)
,
∴ 試題.files/image334.gif)
平面試題.files/image336.gif)
,
∴ 試題.files/image217.gif)
……………………………………7分
(2) 令試題.files/image338.gif)
與試題.files/image340.gif)
的交點為試題.files/image122.gif)
, 連結試題.files/image343.gif)
.
∵ 試題.files/image182.gif)
是試題.files/image126.gif)
的中點, 為的中點, ∴ ∥試題.files/image219.gif)
.
又 ∵試題.files/image347.gif)
平面試題.files/image221.gif)
, 試題.files/image350.gif)
平面,
∴∥平面. ………………………13分
18.(本小題滿分13分)
解: (1) 由題意得 試題.files/image352.gif)
, 即 試題.files/image354.gif)
,…………………1分
當試題.files/image356.gif)
時 , 試題.files/image358.gif)
,…………4分
當試題.files/image360.gif)
時, 試題.files/image362.gif)
, ………………5分
∴ 試題.files/image364.gif)
, ……………………6分
(2) 由(1)得試題.files/image366.gif)
,…………………8分
∴ 試題.files/image368.gif)
試題.files/image370.gif)
. ……………………11分
因此,使得試題.files/image372.gif)
成立的試題.files/image108.gif)
必須且只需滿足試題.files/image374.gif)
, 即試題.files/image376.gif)
,
故滿足要求的的最小正整數試題.files/image378.gif)
………………13分
19.(本小題滿分14分)
解: (1)設圓試題.files/image177.gif)
的圓心為試題.files/image380.gif)
,
依題意圓的半徑 試題.files/image382.gif)
……………… 2分
∵ 圓在試題.files/image159.gif)
軸上截得的弦試題.files/image250.gif)
的長為試題.files/image252.gif)
.
∴ 試題.files/image384.gif)
故 試題.files/image386.gif)
…………………………
4分
∴
試題.files/image388.gif)
∴ 圓的圓心的軌跡方程為 ………………… 6分
(2) ∵
試題.files/image254.gif)
, ∴ 試題.files/image390.gif)
……………………… 9分
令圓的圓心為試題.files/image392.gif)
, 則有試題.files/image394.gif)
(試題.files/image396.gif)
) ,…………… 10分
又
∵ 試題.files/image398.gif)
…………………… 11分
∴ 試題.files/image400.gif)
……………………… 12分
∴ 試題.files/image402.gif)
………………………
13分
∴ 圓的方程為 試題.files/image404.gif)
…………………… 14分
21.(本小題滿分14分)
解：（Ⅰ）由已知試題.files/image406.gif)
解得試題.files/image289.gif)
，試題.files/image409.gif)
，
…………………2分
∴ 試題.files/image411.gif)
, ∴ 試題.files/image413.gif)
…………4分
∴ 試題.files/image415.gif)
. ……………………5分
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，試題.files/image268.gif)
在區間試題.files/image270.gif)
恒成立,即試題.files/image417.gif)
在區間恒成立,
從而試題.files/image419.gif)
在區間上恒成立，…………………8分
令函數試題.files/image422.gif)
,
則函數在區間上是減函數，且其最小值試題.files/image425.gif)
，
∴ 試題.files/image272.gif)
的取值范圍為試題.files/image428.gif)
…………………………10分
（Ⅲ）由試題.files/image276.gif)
，得試題.files/image431.gif)
，
∵
試題.files/image433.gif)
∴試題.files/image435.gif)
,………………11分
設方程試題.files/image437.gif)
的兩根為試題.files/image439.gif)
，則試題.files/image441.gif)
,試題.files/image443.gif)
,
∴試題.files/image445.gif)
,
∵
試題.files/image281.gif)
， ∴ 試題.files/image447.gif)
, ∴試題.files/image449.gif)
，
∵
且試題.files/image452.gif)
， ∴ 試題.files/image454.gif)
，
∴
試題.files/image456.gif)
……………14分
21.(本小題滿分14分)
解: （Ⅰ）解：當時，試題.files/image459.gif)
，試題.files/image461.gif)
，……………1分
又試題.files/image463.gif)
，則試題.files/image465.gif)
．…………………3分
所以，曲線試題.files/image291.gif)
在點試題.files/image293.gif)
處的切線方程為試題.files/image469.gif)
，
即試題.files/image471.gif)
．……………4分
（Ⅱ）解：試題.files/image473.gif)
．…………6分
由于試題.files/image295.gif)
，以下分兩種情況討論．
（1）當時，令試題.files/image477.gif)
，得到試題.files/image479.gif)
，試題.files/image481.gif)
,
當變化時，試題.files/image484.gif)
的變化情況如下表：
試題.files/image487.gif)
試題.files/image489.gif)
試題.files/image491.gif)
試題.files/image063.gif)
試題.files/image494.gif)
試題.files/image496.gif)
試題.files/image498.gif)
0
試題.files/image500.gif)
0
試題.files/image260.gif)
試題.files/image504.gif)
極小值
試題.files/image506.gif)
極大值
所以在區間試題.files/image509.gif)
,試題.files/image511.gif)
內為減函數，在區間試題.files/image513.gif)
內為增函數
故函數在點處取得極小值試題.files/image517.gif)
，且試題.files/image519.gif)
，
函數在點處取得極大值試題.files/image523.gif)
，且試題.files/image525.gif)
．…………………10分
（2）當試題.files/image527.gif)
時，令，得到試題.files/image530.gif)
，
當變化時，的變化情況如下表：
試題.files/image533.gif)
試題.files/image536.gif)
試題.files/image539.gif)
0
0
極大值
極小值
所以在區間試題.files/image542.gif)
,試題.files/image543.gif)
內為增函數，在區間試題.files/image544.gif)
內為減函數．
函數在試題.files/image546.gif)
處取得極大值，且．
函數在試題.files/image550.gif)
處取得極小值，且．………………14分
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C.試題.files/image092.gif)