珠海市2008年高三模擬考試
數 學（理 科）試卷 2007.1.4
本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：1．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
2．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合
，
，則集合
A．
B．
C．
D．
2．設
是實數，且
是實數，則
A．
B．
C．
D．
3．已知函數
（其中
，
）的最小正周期是
，且
，則
A．
，
B．，
C．
， D．，
4．下列四個命題中，真命題的個數為
（1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；
（2）兩條直線可以確定一個平面；
（3）若
，
，
，則
；
（4）空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內．
A．1 B．
5．已知
，則
的值為
A．
B．
C．1 D．2
6．設
是函數
的導函數，將
和
的圖像畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是
A． B． C． D．
7．設
，
分別為具有公共焦點
與
的橢圓和雙曲線的離心率，
為兩曲線的一個公共點，且滿足
，則
的值為
A． B．1 C．2 D．不確定
8．已知
，
（
、
，且對任意、
都有：
①
；②
．
給出以下三個結論：（1）
；（2）
；（3）
．
其中正確的個數為
A．3 B．2 C．1 D．0
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9．圓心為
且與直線
相切的圓的方程是_______________．
10．向量
、
滿足
，
，
，則、的夾角為________．
11．若把英語單詞“good”的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有________種．
12．如右圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖是周長為4一個內角為
的菱形，俯視圖是圓及其圓心，那么這個幾何體的表面積為________．
13．（坐標系與參數方程選做題）極坐標系下，直線
與圓
的公共點個數是________．
14．（不等式選講選做題）
、
，
，則
的最小值為______．
15．（幾何證明選講選做題）如圖所示，等腰三角形
的底邊
長
為6 , 其外接圓的半徑長為5, 則三角形的面積是________．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
設集合
，
．
（1）求集合
；
（2）若不等式
的解集為
，求，
的值．
17．（本小題滿分12分）
已知函數
．
（1）求的最值；
（2）求的單調增區間．
18．（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐
中，
底面
，
，
，
，
，
是
的中點．
（1）求證：
；
（2）求證：
面
；
（3）求二面角
的平面角的正弦值．
19．（本小題滿分14分）
已知拋物線
（為非零常數）的焦點為
，點為拋物線
上一個動點，過點且與拋物線相切的直線記為
．
（1）求的坐標；
（2）當點在何處時，點到直線的距離最小？
20．（本小題滿分14分）
數列
是以為首項，
為公比的等比數列．令
，
，．
（1）試用、表示
和
；
（2）若
，
且
，試比較與
的大小；
（3）是否存在實數對
，其中，使
成等比數列．若存在，求出實數對和；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分）
設函數
，其中為常數．
（1）當
時，判斷函數在定義域上的單調性；
（2）若函數的有極值點，求的取值范圍及的極值點；
（3）求證對任意不小于3的正整數
，不等式
都成立．
珠海市2008年高三模擬考試
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計算前兩題得分．
9．
10．
（或
） 11．
12．
13．
14．
15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
解：
，……………………………………………… 3分
，……………………… 3分
（1）
；……………………………………………………. 2分
（2）因為
的解集為
，
所以
為
的兩根，……………………………………… 2分
故
，所以
，
．……………………………………. 2分
17．（本小題滿分12分）
解： 
………………………………………… 2分
………………………………………… 2分
……………………………………………………. 2分
（1）
的最大值為、最小值為
；……………………………………………… 2分
（2）單調增，故
，…………………………… 2分
即
，
從而的單調增區間為
．…………………… 2分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：
底面
，
又
，
，故
面
面，故
………………………………………………… 4分
（2）證明：
，
，故
是
的中點，故
由（1）知，從而
面
，故
易知
，故
面
……………………………………………… 5分
（3）過點
作
，垂足為
，連結
．
由（2）知，面，故
是二面角
的一個平面角．
設
，則
，
，
從而
，故
．……………… 5分
說明：如學生用向量法解題，則建立坐標系給2分，寫出相關點的坐標給2分，第（1）問正確給2分，第（2）問正確給4分，第（3）問正確給4分。
19．（本小題滿分14分）
解：（1）拋物線方程為
……………………………………………………… 2分
故焦點的坐標為
………………………………………………………… 2分
（2）設
20．（本小題滿分14分）
解：（1）當
時，
，
當
時，
所以
；…………………… 4分
（2）因為
，
所以
當
時，
，
當
時，
，
所以當
，
且
時，
，即
；………… 5分
（3）因為，
，所以，
因為
為等比數列，則
或
，
所以
或
（舍去），所以.………………………… 5分
21．（本小題滿分14分）
解：（1）由題意知，的定義域為
，
…… 1分
當
時， 
，函數在定義域上單調遞增． …… 2分
（2）①由（Ⅰ）得，當
時，函數無極值點．
②
時，
有兩個相同的解
，
時，
時，函數在
上無極值點．
…… 3分
③當
時，
有兩個不同解，
時，
，
,
此時 
，隨
在定義域上的變化情況如下表：
減
極小值
增
由此表可知：
時，有惟一極小值點
，
…… 5分
ii) 當
時，0<
<1
此時，，隨的變化情況如下表：
增
極大值
減
極小值
增
由此表可知：時，有一個極大值和一個極小值點
；
……
7分
綜上所述：
當且僅當
時有極值點;
…… 8分
當
時，有惟一最小值點
；
當時，有一個極大值點
和一個極小值點
（3）由(2)可知當
時，函數
，
此時有惟一極小值點
且
…… 9分
…… 11分
令函數
…… 12分
…… 14分
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