2009年福建省廈門市高三質量檢查測試一
數學（理科）試題
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．
滿分為150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1． 考生將自己的姓名、準考證號及所有答案均填寫在答題卡上；
2． 答題要求，見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項”.
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互獨立，那么P（A?B）=P（A）?P（B）
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1－P)n-k
球的表面積公式：S=4πR2，其中R表示球的半徑.
球的體積公式：V=
πR3，其中R表示球的半徑.
第I卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若集合
，則
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
B．
C．
D．
2
數
的大小關系是
A．
B．
C．
D．
3．條件
：不等式
的解；條件
：不等式
的解，則是的
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
4．若
的圖象是兩條平行直線，則
的值是
A．
或
B． C． D．的值不存在
5．在
內使
成立的
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
6．若函數
的圖象過點
，則函數
的圖象必過點
A．
B．
C．
D．
7．在正項等比數列
中，
是方程
的兩個根，則
的值為
A．32 B．
D．256
8．若函數
，則
A．
B．
C．2
D．
9．已知直線
，其中
為實數，當這兩條直線的夾角在
內變動時，的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
10．已知是
上的增函數，點
在它的圖象上，
是它的反函數，那么不等式
的解集為
A．
B．
C．
D．
11．已知橢圓
與雙曲線
有相同的焦點
和
，若
是
的等比中項，
是
與
的等差中項，則橢圓的離心率是
A．
B．
C．
D．
12．某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，某顧客要購買
黃金，售貨員先將
的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．在答題卡上的相應題目的答題區域內作答．
13．已知平面向量
，
，若
，則實數
=_______.
14．已知
滿足約束條件
，則
的最大值是______________.
15．已知
點是圓
上任一點，點關于直線
的對稱點也在圓上，那么實數等于____________.
16．已知等差數列的前
項和為
，若
，且
，則等于_____________.
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，在答題卡上相應題目的答題區域內作答.
17．（12分）在
中，
是角
所對的邊，
是該三角形的面積，且
。
（Ⅰ）求角
的度數；
（Ⅱ）若
，求
的值。
18．（12分）已知實數滿足不等式
，解關于的不等式：
19．（12分）已知函數
。
（Ⅰ）若關于的方程
的解都在區間內，求實數的范圍；
（Ⅱ）若函數
在區間
上單調遞增，求正實數的取值范圍。
20．（12分）某商場只設有超市部、服裝部、家電部三個部門，共有200名售貨員，計劃三個部門日營業額共為55萬元，各部門的商品每1萬元營業額所需售貨員人數如表（1），每1萬元營業額所得利潤如表（2），若商場預期每日的總利潤為萬元，且滿足
，又已知商場分配給三個部門的日營業額為正整數萬元，問商場怎樣分配營業額給三個部門？各部門分別安排多少名售貨員？
表（1） 表（2）
部門
每1萬元營業額所需人數
超市部
4
服裝部
5
家電部
2
部門
每1萬元營業額所需人數
超市部
0.3萬元
服裝部
0.5萬元
家電部
0.2萬元
21．（12分）設拋物線過定點
，且以直線
為準線
（Ⅰ）求拋物線頂點的軌跡
的方程；
（Ⅱ）已知點
，軌跡上是否存在滿足
的
兩點？證明你的結論。
22．（14分）設
有唯一解，
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
且
，求證：
（Ⅲ）是否存在最小整數，使得對于任意
，有
成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由。
2009年廈門市高三質量檢查測試一
一、選擇題：（本大題12個小題，每小題5分，共60分）
CDAB，DABC，CBDA
二、填空題：（本大題4個小題，每小題4分，共16分）
13．0； 14．3； 15．3； 16．10
三、解答題：（本大題6個小題，共74分）
17．（12分）
解：（Ⅰ）由已知等式得：
…………（2分）
………………（5分）
………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）
……………………………………（8分）
……………………（11分）
………………………………………………………………（12分）
18．（12分）
解：由
………………………………（2分）
①當
時，
；……………………………（6分）
②當
時，
；…………………………………………（8分）
③當
時，
。………………………………（11分）
綜上，當時，
；
當時，
；
當時，
。………………………（12分）
19．（12分）
解：（Ⅰ）
………………………………（7分）
（Ⅱ）
………………………（12分）
20．（12分）
解：設商場分配給超市部、服裝部、家電部的營業額依次為
萬元，
萬元，
萬元（
均為正整數），由題意得：
………………………………（5分）
由（1），（2）得
………………………………（7分）
………………………………（8分）
………………………………（9分）
………………（11分）
答：分配給超市部、服裝部、家電部的營業額分別為12萬元，22萬元，21萬元，售貨員人數分別為48人，110人，42人；或者分配給三部門的營業額依次為15萬元，20萬元，20萬元，售貨員人數分別為60人，100人，40人。……………………（12分）
21．（12分）
解：（Ⅰ）設拋物線頂點為
，則拋物線的焦點為
，由拋物線的定義可得：
……………………………（6分）
（Ⅱ）不存在。…………………………………………………………（7分）
設過點
，斜率為
的直線方程為
（斜率不存在時，顯然不合題意），………………………………………………………………………………（8分）
由
…………………………（9分）
由
………………………………………………………（10分）
假設在軌跡
上存在兩點
，令
的斜率分別為
，則
顯然不可能滿足
∴軌跡上不存在滿足
的兩點。………………………………（12分）
22．（14分）
（Ⅰ）解：由
，可以化為：
………………………………（1分）
從而
…………………………………………………………（3分）
又由已知
，得：
， 即 
∴數列
是首項為
，公差為
的等差數列，…………………………（4分）
……………………（8分）
（Ⅱ）證明：
……（9分）
（12分）
（Ⅲ）解：由于
，若
恒成立
………………………………（14分）
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