鄞州高級中學 高二（數學）期中試卷（理）
命題人： 葉琪飛 審題人： 王蓉
一：選擇題。（本大題共10小題，每小題5分,共50分，每小題都只有一個正確答案）
1若，
則 （ ）
A、 B、9 C、 D、
2：不等式的
解集是 （ ）A、 B、 C、 D、
3： 已知則的大小關系是 （ ）
A、 B、 C、 D、
4：函數的最大值為 （ ）
A、6 B、5 C、3 D、 4
5：若不等式恒成立，則的取值范圍為 （ ）
A、 B、 C、 D、
6：下列結論中正確的是 （ ）
⑴若則; ⑵若則則;
⑶ ⑷若為的三邊，則（其中且）
A、 0個 B、 1個 C、 2個 D、 3個
7：不等式組的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
8：設且若則必有 （ ）
A、 B、 C、 D、
9：若且則的最小值是 （ ）
A、 4 B、3 C、2 D、 5
10：關于實數的不等式與的解集分別為與，若使求實數的取值范圍 （ ）
A、 B、 C、 D、
二：填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）
11：為虛數單位， ▲ 。
12：關于的不等式的解集為 ▲ 。
13：函數的最小值為 ▲ 。
14：設則 ▲ 。
15：設不等式對滿足的實數都成立，則的取值范圍是 ▲ 。
16：若函數點在曲線上運動，作軸，垂足為則（O為坐標原點）的周長的最小值為 ▲ 。
17：三個同學對問題“關于的不等式在上恒成立，求實數的取值范圍”提出各自的解題思路。
甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；
乙說：“把不等式變形為左邊含變量的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”；
丙說：“把不等式兩邊看成關于的函數，作出函數圖像”。
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確的結論，即的取值范圍是 ▲ 。
二、 填空題（每小題4分，共28分）
11、。 12、。 13、。 14、。
15、。 16、。 17、。
三、解答題（6個小題，共72分）
18、（本題共10分）求解關于的不等式
解：（1）當時，原不等式等價于即
（2）當時，原不等式等價于即
（3）當時，原不等式等價于即
綜上所述，原不等式的解集為
19、（本題共10分）已知實數滿足設
（1）求的最小值；
（2）當時，求的取值范圍。
解：（1）由柯西西不等式得
所以當且僅當且即時取等號，
因此的最小值為
（2）由題意得：所以
所以解得：
20、（本題共10分）經過長期觀察知：在交通繁忙的時段內，某公路段的汽車流量(千輛/時)與汽車的平均速度（千米/時）之間的函數關系為問在這時段內，當汽車的平均速度為多少時，車流量最大？并求最大的車流量（精確到0.1千輛/時）
解：由于，，
當且僅當即時，等號成立。
所以車流量車流量的最大值為 (千輛/時)
21、（本題共14分）函數過曲線上的點的切線方程為
（1）若在時有極值，求的表達式；
（2）在（1）的條件下，求在上的最大值；
（3）若函數在區間上單調遞增，求取值范圍。
解：（1）由得據題意得：
即解得；
（2）由（1）得當變換時，與的變換情況如下表：
x
+
0
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
所以在上的最大值的極大值為13.
（3）在區間上單調遞增，又由（1）知，依題意在上恒有即在恒成立。
當時，
當時，
當時，
綜合上述討論可知，所求參數的取值范圍是
22、（本題共12分）求證：
解法一：，
=
解法二：用數學歸納法進行證明（略）
23、（本題共16分） 對于函數，若存在，則稱為的不動點，
已知函數
（1）當時，求函數的不動點；
（2）對于任意實數函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍。
（3）在（2）的條件下，若函數的圖象上兩點的橫坐標是函數的不動點， 且
兩點關于直線對稱，求的最小值。
解：（1）由得兩個不動點；
（2）恒有兩個相異的不動點，等價于關于的方程
即有兩個相異的實根。
恒成立。解得
（3）設兩點的橫坐標分別為，則中點橫坐標為從而縱坐標為又中點在直線上，所以得當且僅當
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