云南省曲靖一中2009屆高三高考沖刺卷（八）
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只
1．已知全集
，則
為
A．{1，2} B．{
，2） C．{，0） D．{，0，2）
2．已知復數
，則
等于
A．2 B．
C．
D．
3．已知兩個正數
的等差中項為5，等比中項為4，則橢圓
的離心率
等于
A．
B．
C．
D．
4．在平面直角坐標系中，已知向量
，且
，那么
等
于
A．2或 B． D．0
5．已知變量
，
滿足約束條件
，則
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．[3，6]
6．等差數列
的前
項和為
，若
，則
等于
A．16 B．
7．
為矩形
所在平面外一點，且
平面
，則四棱錐
的體積等于
A．2 B．
8．設
是定義在
上的奇函數，若當
時，
，則滿足
的
取值范圍是
A．（0，1） B．（1，
）
C．
D．
9．已知定點
，且
，動點滿足
，則
的最小值為
A．
B．
C．
D．5
10．某一批油菜種子，如果每一粒種子發芽的概率是
，那么種下4粒種子恰有2粒發芽
的概率是
A．
B．
C．
D．
11．已知圓的方程為
，設該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為
和
，則四邊形的面積為
A．
B．
C．
D．
12．棱長為1的正方體
及其內部一動點，集合
，則
構成的幾何體表面積為
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題。每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上．
13．已知
，則
．
14．已知
（
是正整數）的展開式中，
的系數小于120，則
．
15．設函數
的圖象為
，函數
的圖象為
，若與關于
直線
對稱，則
．
16．已知函數
（
為常數）圖象上
處的切線與直線
的
夾角為45°，則點的橫坐標為
．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
已知
的面積為3，且滿足
．設
與
的夾角為
．
（1）求的取值范圍
；
（2）當
時，求函數
的最小值和最大值．
18．（本小題滿分12分）
某商場準備在五一勞動節期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動．
（1）試求選出的3種商品至少有一種日用商品的概率；
（2）商場對選出的商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現價的基礎上將價格提高180元，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都可獲得一定數額的獎金．假設顧客每次抽獎時獲獎與否是等概率的．
請問：商場應將中獎獎金數額最高定為多少元，才能使促銷方案對自己有利?
19．（本小題滿分12分）
如圖，四面體中，
是的中點，
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）求異面直線
與
所成角的大小；
（3）求二面角
的大小．
20．（本小題滿分12分）
已知
且
，數列中，
，令
．
（1）若
，求數列
的前項和；
（2）若
,
，求
的取值范圍．
21．（本小題滿分12分）
已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
，其中也是拋物線
的焦點，是與在第一象限的交點，且
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知菱形的頂點
在橢圓上，頂點
在直線
上，求直線的方程．
22．（本小題滿分12分）
已知函數
，該函數圖象在點
的切線為
，設切線交軸、軸分別為
和
兩點．
（1）將
（為坐標原點）的面積
表示為
的函數
；
（2）若函數
的圖象與軸交于點
，則
與
的大小關系如何?請證明你的結論；
（3）若在
處，取的最小值，求此時的值及的最小值．
1．B 2．A 3．C 4．B 5．A 6．D 7．B 8．C 9．C 1 0．B
11．B 12．D
1．
．
2．
3．
是方程
的根，
或8，又
，
．
4．
．
5．畫出可行域，如圖，
可看為區域內的點與（0，0）連線的斜率，
．
．
6．
7．在
中，
，在
中，
，
在
中，
，在
中，
，
．
8．
的圖象如圖所示
的解集為
．
9．由
知
點的軌跡是以
，
為焦點的雙曲線一支．
，
．
10．由獨立重復試驗的概率
．
11．設
，圓為
最長弦
為直徑，最短弦
的中點為
，
12．幾何體的表面積是三個圓心角為
、半徑為1的扇形面積與半徑為1的球面積的
之和，即表面積為
．
二、
13．
平方得
．
14．
的系數
15．1．
與
互為反函數，
令
，
．
16．0或 
，設點的橫坐標為
點處的切線斜率為
，由夾角公式得
，即
若
，得
，矛盾
若
或
．
三、
17．（1）
，由
，得
，消去
得
．
．
（2）
，
．
時，
的最大值為
時，的最大值為2．
18．（1）從3種服裝商品、2種家電商品，4種日用商品中，選出3種商品，一共有
種不同的選法．選出的3種商品中，沒有日用商品的選法有
種。所以選出的3種商品至少有一種日用商品的概率為
．
（2）假設商場將中獎獎金數額定為
元，則顧客在三歡抽獎中所獲得的獎金總額是一個隨機變量
，其所有可能的取值為
于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值是
．
要使促銷方案對商場有利，因此應有
，
．
故商場應將中獎獎金數額最高定為120元．才能使促銷方案對自己有利．
19．（1）證明：
．
連接
．
，又
即
平面
．
（2）方法1 取
的中點，的中點
，
為的中點，
或其補角是
與
所成的角．
∴連接
是
斜邊上的中線，
，
．
在
中，由余弦定理得
，
∴直線與所成的角為
．
（3）方法l
平面
，過
作
于
，連接
,
是在平面上的射影，由三垂線定理得
．
是二面角
的平面角，
，又
．
在
中，
，
．
∴二面角為
．
（2）方法2
建立空間直角坐標系
．
則
．
．
∴直線與所成的角為．
（3）方法2
在坐標系中，平面的法向量
．
設平面
的法向量
，則
，
求得
，
∴二面角為
．
20．
是首項為
、公比為的等比數列，
（1）當
時，
兩式相減得
．
（2）
當
時，
，
，對
，
，而，
時，
成立，即
．
當
時，
．
對遞增，
時，
時，
對成立，即，
綜上得，的取值范圍是
．
21．（1）設
．
由拋物線定義，
，
．
在
上，
，又
或
舍去．
∴橢圓的方程為
．
（2）∵直線的方程為
為菱形，
，設直線的方程為
、
在橢圓上，
．
設
，則
．
．
的中點坐標為
，由
為菱形可知，點在直線
上，
∴直線的方程為
，即
．
22．（1）
，切線
的議程為
，即
.
令
得
，令
得
，
，
．
（2）由
及
得
，即
．
于是
當且僅當
，即
時，等號成立．
時，
時，
．
（3）
由
得
當
，即
時，
，
當
，即
時，
時，
取得最小值，最小值為
．
由
，得
，此時，最小值為
．
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