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1、直棱柱、正棱錐、正棱臺側面積是如何推導出的？特別的，關于棱柱、正棱錐、棱臺有什么側面積公式？

（棱柱棱錐棱臺側面積通過側面展開圖推導出的；S_棱柱側＝c×h^/，S_正棱錐側＝c×h^/，S_正棱臺側＝（c＋c^/）×h^/，介紹直棱柱、正棱臺、正棱錐的概念）

2、圓柱、圓錐、圓臺有類似的結論嗎？如何得出？

（答：圓柱、圓錐、圓臺有類似的結論；

（1）圓柱側面展開圖是一個矩形，S_圓柱＝cl

（2）圓錐側面展開圖是一個扇形S_圓錐側＝＝πl

（3）圓臺的側面展開圖為一個扇環

S_圓臺側＝πc(l+x)-πc^/x=π[cl+(c-c^/)x],=(c-c^/)x=c^/l, S_圓臺側＝(c+c^/)l

3、你能發現柱、錐、臺側面積公式間有什么內在聯系？柱錐臺間有什么內在聯系？

（答： ）

例1、已知底面為菱形的直棱柱，過不相鄰兩測棱的截面面積為Q₁,Q₂,求其側面積

解：設底面邊長為a，高為h,則S_側＝4ah

Q₁=AC.h,Q₂=BD.h,a²=()²+()²=2ah=,S_側＝2

    說明：柱、錐、臺的側面積公式可以直接用時用之，不能直接用時，可以用相加法或展開法。

練習：一個直角梯形上底、下底及高的比為2:4:,求它旋轉而成的圓臺的上底面、下底面面積及側面積的比（答：2:8:9）

例2、正方形ABCD是一個圓柱的軸截面，圓柱的半徑為r，一條繩子沿圓柱側面從A到C旋轉的最短路徑是多少？再旋轉一周呢？

解：將半個圓柱展開，最短路徑為A^/C=r;再旋轉一周后為r

說明：求沿表面兩點間的最短路徑問題，一般用展開法

例3、斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面是邊長為2的正三角形，頂點A₁在平面ABC內的射影O是三角形的中心，側棱AA₁與AB的成角為45⁰，求此三棱柱的表面積

解：過A₁作A₁D⊥AB于D，由于OD是A₁D在平面ABC內的射影，AB⊥OD,D是AB的中點，這樣A₁A=,AD=1=A₁D,=2×1＝2，同理＝2。S_底＝×2×＝。

BC⊥AO,AO為A₁A在面ABC內的射影BC⊥A₁A, A₁A∥B₁B,BC⊥B₁B,B₁BCC₁為矩形，＝2。S_表＝2S_底＋＋＋＝2＋4＋2

五、小結：求側面積的一般方法有展開法、公式法、相加法；求沿表面兩點間的最短路徑問題，一般用展開法

六、作業：教材P57---習題1，3，4，8

【補充習題】

1、長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，(1)三度(共頂點的三條棱長)分別為a、b、c(a> b>c),則由A沿長方體表面到C₁的最短路徑長為__________;(2)若其全面積為S，所有棱長和為E，則其對角線長為__________

2、圓錐被平行于底面的截面所截，若此截面為中截面（過高的中點的截面），分圓錐上下兩部分的側面積的比為___________；若此截面分高上下兩部分的比為λ，則它分圓錐上下兩部分的側面積的比為___________

3、正三棱錐側面積是底面積的2倍，高為3，則此三棱錐的表面積為________

4、一個側棱長為a斜棱柱，垂直于側棱的截面（稱直截面）的周長為c,則此三棱柱的側面積為____________(以三棱柱為例說明)

5、(1)類比“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論，如果一個直三棱柱一個側面面積為A,其余兩個側面積之和為F，則A與F的大小關系是_____

（2）如果一個直四棱柱一個側面面積為A,其余側面積之和為F，則A與F的大小關系是_____

（3）由（1）（2）你能猜想出一個什么命題，將之寫出，并說明真假（注：直棱柱為側棱垂直于底面的棱柱）。猜想命題______________________________________________，命題的真假_______

6、圓錐底面半徑為r,高為2r，求圓錐內接圓柱側面積的最大值。

7、如圖是一個煙筒設計的三視圖圖紙，現要往其表面貼瓷磚，若損耗定為5％，需要多少面積的瓷磚（保留整數，≈1.732）

8*、在正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a,AB=b(a>b),O₁為底面A₁B₁C₁D₁的中心，且棱臺側面積與四棱錐O₁―ABCD的側面積相等，求棱臺的高（兩底面間的距離），并說明是否總有解。

【答案】

1、(1);   (2)

2、1：3，

3、27

4、ca

5、(1)A<F;(2)A<F;(3)直棱柱一個側面面積小于其他側面面積的和，真

6、設圓柱的底面半徑為x，高為h，則,h=2r-2x,圓柱的側面積S=2πxh

=4π(-x²+rx),當x=時,S_max=πr²

7、15115平方厘米

8*、取AD、A₁D₁的中點E、E₁,ABCD的中心為O，則OO₁為棱臺的高，設為h，EE₁為棱臺的斜高，棱錐與棱臺的側面積相等，bEO₁=(a+b)EE₁,EE₁²=h²+,

EO₁²=h²+,代入有b²[h²+]=(a+b)²[h²+],當2b²>a²即b>a>b時，方程有解h=

      1.3.2空間幾何體的體積（1）??－柱錐臺的體積

【教學目標】

2，掌握公式法求體積的方法，會用隔補法求空間幾何體的體積，會用等積法求點到平面的距離

推導過程為：祖?原理→柱體體積棱錐（推廣到錐體）臺體

應用過程為：公式法（教材）、割補法、等積法

【教學難點】割補法（本節是課件）

【教學重點】公式的推導及總結

【教學流程】

一、公式推導：

通過一摞書演示，說明祖?原理：兩個登高的幾何體，若在所有高處的截面面積相等，則此兩個幾何體的體積相等

1、由長方體的體積得到柱體的體積V_柱=S_底h

2、錐體的體積

（1）三棱錐的體積：V_柱＝++,而＝，＝＝＝，故V_柱＝3V_錐，V_三棱錐＝V_棱柱＝Sh

(2)根據祖?原理，一般錐體體積V_錐＝Sh

3、臺體的體積：

臺體由錐體截得，以三棱臺為例，有

設臺體上下底面面積為S^/、S,高為h,補成棱錐后上面小棱錐的高為x，則V_臺＝V_大錐－V_小錐＝S(x+h)-S^/x=Sh+(S-S^/)x,而,于是x=,代入V_臺=Sh+(+)h=(S++S^/)h

4、柱錐臺體積公式間的關系

V_柱=S_底hV_臺=(S++S^/)hV_錐＝Sh

思考：如何求幾何體的體積？（1）公式法；（2）割補法

  二、公式應用

  例1、有一堆相同規格的六角螺帽毛坯，共重6kg，已知毛坯底面正六邊形邊長是12mm.高是10mm，內孔直徑是10mm，那么這堆毛坯約有多少個？（鐵的密度為7.8g/cm³）

(教材P53---例1，此題可以上學生自己看)

練習：教材P54―1~4

例2、AB、CD分別在兩平行平面α、β內，AB⊥CD，AB=CD=a,α、β的距離為h，求四面體ABCD的體積

   解：【方法一】（割）α、β的距離為h，AB、CD的距離也是h,設AB、CD的公垂線為OH,則體積V=V_C-AOB+V_D-AOB=S_AOB(CO+OD)=S_AOBCD=(ah)a=a²h

【方法二】（補）將之補成一個長方體，則四面體得體積V=V_長方體－4V_三棱錐＝－4×＝a²h

   說明：補的技巧是：分析出要補成的結果，先畫后找

例3、已知三棱錐P-ABC中，側棱兩兩垂直且都等于a，求點P到平面ABC的距離

解【方法一】由已知，△ABC是等邊三角形，且P在平面ABC內的射影O是△ABC的垂心（也是重心），PO即為所求。PO.CD=PC.PDPO== =

說明：該方法還是用的：作出??證出――指出――求出的方法

【方法二】設點P到平面ABC的距離為h,V_P-ABC=V_C-PAB即S_△ABCh=S_△PAB.CP

h===

   說明1：此方法稱等體積法，其步驟一般為：設值??轉化為高好求的三棱錐的體積求

   說明2：原來的根據面積相等求一邊上的高稱等面積法。等面積法求高與等體積法求高統稱等積法

2、求點到平面的距離的方法有：“作指證求”及等積法

【補充作業】

1、一個正四棱柱側面展開圖是一個邊長為4的正方形，則其體積為_______

2、在△ABC中，AB=2=BC，∠ABC＝120⁰，將△ABC繞BC旋轉一周，所得旋轉體的體積為________,表面積為_________

3、三棱臺ABC-A₁B₁C₁中，AB:A₁B₁=1:2,則三棱錐A₁-ABC,B₁-A₁BC,C-A₁B₁C₁的體積比為_____________

4、（1）一個棱長為3a的正方體，無論從那個面看，其正中間都有一個打通底面邊長為a的正四棱柱洞，則此幾何體的體積是____________,表面積為___________

(2)已知一個火箭的上部為一個圓錐，中間是一個圓柱，下部是一個圓臺，其軸截面及尺寸如圖，則該火箭的體積為___________（結果可以包含π）

（3）一個三棱柱容器中盛有水，且側棱AA₁=h,若側面AA₁BB₁水平放置時，液面恰好過AC、BC、A₁C₁、B₁C₁的中點，當底面ABC水平放置時，液面的高為_________

5、（1）一個斜棱柱，側棱長為a，垂直于側棱的一個截面面積為S，則此棱柱的體積為__________；（2）一個三棱柱一個側面面積為A，與其相對的側棱到該面的距離為d，則三棱柱的體積為__________

6、“一個定正三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值”證明如下：

設正三角形的邊長為a，高為h,D為其內任意一點，D到三邊的距離分別為r₁,r₂,r₃,則

S_△ABC＝S_△BOC+S_△COA+S_△AOB,即：ah=a(r₁+r₂+r₃)r₁+r₂+r₃=h定值。仿此，類比出空間的一個結論，并證明

   7、三棱錐S-ABC中，一條棱長為a，其余棱長都是1，求a為何值時，三棱錐的體積V最大，并求最大值

   8*（選作）、一個斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁,所有的棱長都是a，側棱AA₁與底邊AB、AC的成角都是60⁰

(1)求側棱與底面的成角的余弦值；（2）求此三棱錐的體積V及表面積S；（3）求AA₁到對面BB₁CC₁的距離

【答案】

1、4

2、2π，（6＋2）π

3、1：2：4

4、（1）20a³,72a²；（2）49π/3；（3）3h/4

5、（1）Sa；  (2)Ad

6、正四面體內任意一點到各面距離的之和為定值

證明：設正四面體ABCD每個面面積為S，高為h，其內有一點P,則其體積

V=V_p-ABC+V_P-ABD+V_P-ACD+V_P-BCD,即：Sh=S(r₁+r₂+r₃+r₄)r₁+r₂+r₃+r₄=h定值

7*、設SC＝a【方法一】取AB的中點H，過S作SO⊥CH于O，則

SO⊥AB,又SO⊥CHSO⊥平面ABC，

V=S_△ABCSO≤S_△ABC．ＳＨ＝××＝，當且僅當SH=SO即O與H重合時,等號成立,此時平面SAB⊥平面ABC,a=SH=

    總之,當a=時,V_max=

【方法二】取SC的中點D，則SC⊥平面ABD,V=V_S-ABD+V_C-ABD=S_ABDSC=

,V²=(-a⁴+3a²),當a²=時，V²_max=即,當a=時,V_max=

     8*、（1）設A₁在面ABC內的射影為O∵∠A₁AC=∠A₁AB=60⁰∴O在∠BAC的平分線上，∠A₁AO為側棱與底面的成角

   【方法一】過O作OD⊥AC于D，∵OD是A₁D在平面ABC內的射影∴AB⊥A₁D

AO=acos∠A₁AO,AD=AOcos30⁰=acos∠A₁AOcos30⁰,AD=AA₁cos∠A₁AB

∴cos∠A₁AO==側棱與底面的成角的余弦值為

[方法二]∵cos∠(AA₁,AC)=cos∠(AA₁,AO)cos∠(AO,AC)即cos60⁰=cos∠A₁AOcos30⁰∴cos∠A₁AO==,側棱與底面的成角的余弦值為

（2）V=S_ABCA₁O=asin∠A₁AO=

S=+2S_底＋+,ABB₁A₁≌ACC₁A₁=aasin60⁰=

∵AO⊥BC ，AO為AA₁在面ABC內的射影∴BC⊥AA₁∵AA₁∥BB₁∴BC⊥BB₁∴BB₁C₁C為正方形，＝a²∴S=(+1)a²

(3)[方法一]設平面A₁AO∩平面B₁BCC₁=EE₁,則E、E₁為BC、B₁C₁的中點，且平面AA₁E₁E⊥平面B₁BCC₁，過A₁作A₁H⊥EE₁于H,則A₁H⊥平面B ₁BCC₁,A₁H即為所求。A₁H=A₁E₁sin∠A₁E₁E==

[方法二] 設AA₁到對面BB₁CC₁的距離為d,由5（2）知V=d,d=

1.2.3空間幾何體的體積（3）??球的體積與表面積

【教學目標】

2、會用球的體積及表面積公式求相應的體積與面積

【教學重點】公式應用（本節是課件）

【教學難點】公式推導

【教學流程】

二、推進新課

1、球的體積表面積如何求？

（1）整個球不易剖分，要求球的體積只要求半球的體積（這是我國南北朝時期的祖?與1653年意大利數學家Cavalieri共同的想法）

祖?：比較圓錐、半球、圓柱體積得到猜想V_半球＝

Cavalieri：倒沙試驗得到V_半球＝  

如何證明呢？

（2）半球被平行于大圓的面所截，高為x處，球的半徑為r，截面面積是_______π（r²-x²）

(3)能否構造出一個學過的幾何體，使在高為x處的面積也是πr²-πx²

a,半球的半徑是r，所找幾何體的半徑也是r

b, πr²為一個圓柱的底面面積

c，據底面x，小的底面半徑也是x

e，找出底面半徑及高都為r的圓柱，找出以上底面為底面，下底面圓的圓心為頂點的圓錐

f,挖去圓錐即可

g，結論：一個半徑為r的半球的體積等于一個底面半徑何高都等于r的圓柱，挖去一個以上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓錐的體積

（4）計算推導：V_半＝πr²r-πr²r V_球＝

設想一個球有許多頂點在球心，底面都在球面上的準錐體組成，當分得無線小時，，錐體得高就無限趨近于r，于是＝rS₁+rS₂+rS₃+……=r(S₁+S₂+S₃+……)=rS_球

S_球＝4πr²

2、公式應用

例1、教材P53---例2（可以看書）

練習：教材P54---5,6

思考1：球半徑變為原來的2倍，體積及表面積變為原來得多少倍？(4倍，8倍)

思考2：球的表面積變為原來的2倍，體積變為原來的多少倍？（2）

（1）半徑；（2）半徑增加原來的2倍

說明：兩球的表面積的比是半徑的平方比，體積的比是半徑的立方比

例2、有一個正方體，球A與其各面相切，球B與各棱都相切，球C過各頂點，求球A、B、C的體積比（1：2：3）

思考：矩形的外接圓的直徑是其對角線，長方體的外接球的直徑是什么？

例3、（1）平面△的三邊為a,b,c ,面積為S，求其內切圓的半徑。（2）妨此過程，求出一個四面體四個面面積為S₁、S₂、S₃、S₄，其體積為V，求其內切球的半徑。（3）求正四面體內切球半徑與高的比

解（1）三角形S=S_AOB+S_BOC+S_COA=(a+b+c)rr=

 (2)V=V_O-ABC+V_O-ACD+V_O-ABD+V_O-BCD=(S₁+S₂+S₃+S₄)rr=

(3)對于正四面體r==,故

【補充習題】

1、一個球外切圓臺上、下底面半徑分別為r、R,球的體積為_____________

2、（1）一個長方體有一個外接球，此外接球的直徑是長方體的__________;（2）若長方體三度為3，4，5，則其外接球的表面積為__________;（3）正方體的內切球與外接球的表面積比為________

3、半徑為R的三個球兩兩相切放在桌面上，第四個小球與三個球都外切，且與桌面也相切，則第四個小球與前每個球的體積比為__________

4、半徑為R的半球內有一個內接圓柱，則其內接圓柱側面積的最大值為_________

5、一個平面截球得到直徑是6cm的圓面，球心到此截面的距離為4cm，則此球的體積為______

6、棱長為a的正方體內有一個球與各棱都相切，求此球的體積

7、有一個軸截面為正三角形的倒置圓錐形容器內盛水的高度為h,放入一個球后水面恰好與球相切（如圖是其軸截面），求球的半徑

8*、地球可以近似看作一個球體，球面上任意一點由其經度和緯度來確定：如圖，球心為O，OA與赤道平面的成角稱點A的緯度（在南稱南緯，北稱北緯）；規定為0⁰經線，二面角W-NS-A的平面角稱點A的經度（東稱東經，西稱西經）．設地球的半徑為Ｒ

(1)若A在北緯45⁰東經114⁰，B在北緯45⁰東經24⁰，北緯45⁰的截面圓記為⊙O₁,求∠AOB及∠AO₁B的大小

（2）北緯45⁰的⊙O₁上AB兩點的劣弧長記作L₁,過AOB的截面圓中AB的劣弧長記作L₂,計算并比較二者的大小

（3）若C在南緯30⁰東經180⁰,D在南緯30⁰的0⁰經線上，南緯30⁰的圓記作⊙O₂,CD在⊙O₂上劣弧的記作L₁^/,過COD的截面圓中CD的劣弧的長為L₂^/,比較L₁^/與L₂^/的大小

（4）由（2）（3）你能得到一個什么樣的結論？

[答案]

1、πrR

2、（1）體對角線；（2）50π；（3）1：3；

3、1：27

4、πR²

5、

6、球的半徑為，體積V=π()³=πa³

7、設球的半徑為r,則水面下圓錐的體積－球的體積＝水的體積

π(r)²3r-πr³=π()²h,r=

8*、（1）∠AO₁B=90⁰,∠AOB=60⁰

(2)L₁=πR>L₂=πR

(3)L₁^/=πR>L₂^/=πR

(4)沿球面上兩點的弧長，過球心的截面圓劣弧長最短