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南昌市2008-2009學(xué)年度高三測(cè)試卷數(shù)學(xué)（3）

一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合，則是　　　　�。� �。�

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A．　　　　 B. 　　　　　 C. 　　　　　 D.

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2．（文）在數(shù)列{}中，若，且對(duì)任意的有，則數(shù)列前15項(xiàng)的和為（）

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A． B．30 C．5 D．

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(理) 若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為 ( )

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A. B.13 C. D. -6

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3．若，則下列不等關(guān)系中不能成立的是（）

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A． B． C． D．

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4.設(shè)分別是的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊，若的（　　）

　A.充分不必要條件； B.必要不充分條件； C.充要條件； D.既不充分也不必要條件；

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5.設(shè)，，是空間三條直線(xiàn)，，是空間兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不成立的是( )

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A 當(dāng)時(shí)，若，則∥

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B 當(dāng)時(shí)，若，則

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　 C 當(dāng)，且是在內(nèi)的射影時(shí)，若，則

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　 D 當(dāng)，且時(shí)，若，則

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6．設(shè)的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，而二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，且M－N=992。則展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為（）

A．150 B．－150 C．250 D．－250

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7．將A、B、C、D四個(gè)球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且A、B兩個(gè)球不能放在同一盒子中，則不同的放法有（）

A．15 B．18 C．30 D．36

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8．（文）已知=（2cosα，2sinα）， =（3cosβ，3sinβ），與的夾角為60°，則直線(xiàn)

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xcosα－ysinα+=0與圓(x－cosβ)²+(y+sinβ)²=1的位置關(guān)系是（）

A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定

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(理)統(tǒng)計(jì)表明，某省某年的高考數(shù)學(xué)成績(jī)，現(xiàn)隨機(jī)抽查100名考生的數(shù)學(xué)試卷，則成績(jī)超過(guò)120分的人數(shù)的期望是（）

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（已知）

A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人

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9．

1,3,5

A．8　　　　 B．10　　　　 C．12　　　　 D．14

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10.已知,則當(dāng)m+n取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為（）

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A. B. C. D.

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11.關(guān)于函數(shù)有下列命題：

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①的最大值是；②是以為最小正周期的周期函數(shù)；

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③在區(qū)間上是減函數(shù)；

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④將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，與已知函數(shù)的圖象重合．

其中正確命題的序號(hào)是（）

A．①②③ B．①② C．②③④ 　　D．①②③④

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12. 以正方體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)地取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為（）

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A． B． C． D．

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二、 填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填寫(xiě)在題中的橫線(xiàn)上。

13．.某路段檢查站監(jiān)控錄象顯示，在某時(shí)段內(nèi)，有

1000輛汽車(chē)通過(guò)該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200

輛汽車(chē)進(jìn)行車(chē)速分析，分析的結(jié)果表示為如下的

頻率分布直方圖，則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過(guò)該站

的汽車(chē)中車(chē)速度不小于90km/h 的約有

輛（注：分析時(shí)車(chē)速均取整數(shù)）。

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14. (文)已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足1，則

的值等于 .

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（理）已知函數(shù)在R上連續(xù)，則 .

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15．設(shè)命題,命題,若命題是命題的必要不充分條件,則r的最大值為 .

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16．如圖，正方體，則下列四個(gè)命題：

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①在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變；

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②在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)AP與平面ACD₁所成角的大小不變；

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③在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變；

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④M是平面上到點(diǎn)D和距離相等的點(diǎn)，則M點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)

其中真命題的編號(hào)是（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）

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三、解答題：本大題共六道小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17．（本小題滿(mǎn)分12分）18.已知向量=（sinB，1－cosB)，且與向量 = （2，0）所成角為，其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角．

（Ⅰ）求角Ｂ的大小；

（Ⅱ）求sinA + sinC的取值范圍．

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18．（本小題滿(mǎn)分12分）(文科做)學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且大于0的概率為.（Ⅰ）求文娛隊(duì)的人數(shù)；（Ⅱ）寫(xiě)出的概率．

(理科做)某中學(xué)開(kāi)展“創(chuàng)建文明城市知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，競(jìng)賽題由20道選擇題構(gòu)成，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)通過(guò)筆試完成，且每道題必須選出一個(gè)選項(xiàng)(不得多選或不選)，每道題選正確得6分。已知學(xué)生甲對(duì)任一道題選擇正確的概率為；學(xué)生乙由于未作準(zhǔn)備，因此只能從每道題的4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇1個(gè).

(Ⅰ)若選錯(cuò)得0分，比較甲得66分的概率與乙得54分的概率的大�。�

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(Ⅱ)為防止個(gè)別學(xué)生像乙那樣隨機(jī)地作出選擇，學(xué)校決定對(duì)每道選擇錯(cuò)誤的倒扣若干分，但倒扣太多對(duì)學(xué)生不公平，倒扣太少又達(dá)不到杜絕亂選的目的，倒扣的分?jǐn)?shù)，應(yīng)該恰到好處，使亂選一通的學(xué)生一無(wú)所獲，換句話(huà)說(shuō)，如果學(xué)生每道題都隨機(jī)選擇，那么他20道題所得總分的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該是0.問(wèn):對(duì)每道題選擇錯(cuò)誤應(yīng)該倒扣多少分比較合適?

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19．（本小題滿(mǎn)分12分）正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為1，（Ⅰ）如圖(1)M為CD中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)AM與BC所成的角；（Ⅱ）將正四面體沿AB、BD、DC、BC剪開(kāi)，作為正四棱錐的側(cè)面如圖(2)，求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，問(wèn)該幾何體是幾面體（不需要證明），并求這幾何體的體積。

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20．（本小題滿(mǎn)分12分）（文科）已知A、B、C是直線(xiàn)l上的三點(diǎn)，向量，，

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滿(mǎn)足：－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0．

（Ⅰ）求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)a＝1時(shí)，求證：直線(xiàn)4x＋y＋m＝0不可能是函數(shù)y＝f(x)圖象的切線(xiàn)．

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（理科）已知A、B、C是直線(xiàn)l上的三點(diǎn)，向量，，滿(mǎn)足：－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝.（Ⅰ）求函數(shù)y＝f(x)的表達(dá)式；（Ⅱ）若x＞0，證明：f(x)＞；

（Ⅲ）若不等式x²≤f(x²)＋m²－2bm－3時(shí)，x∈[－1，1]及b∈[－1，1]都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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21．（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓是拋物線(xiàn)的一條切線(xiàn)。

（I）求橢圓的方程；

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（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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22． (本小題滿(mǎn)分14分）(文科做)已知曲線(xiàn)過(guò)上的點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，再過(guò)作軸的平行線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)，再過(guò)作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)交軸于點(diǎn)，再過(guò)作軸的平行線(xiàn)交曲線(xiàn)C于點(diǎn)，…，依次作下去，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

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（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

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（Ⅱ）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

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( 理科做)定義在(0，＋∞)的函數(shù)f(x)＝，其中e＝2.71828……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x＝1處連續(xù)，求a的值；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)為(0，1)上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍，并判斷此時(shí)函數(shù)f(x)在

(0，＋∞)上是否為單調(diào)函數(shù)；

(Ⅲ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，記g(x)＝lnf(x)＋x²－ax，試證明：

對(duì)n∈N^*，當(dāng)n≥2時(shí)，有－＜nk＝1－n.

試題詳情

一、選擇題：每小題5分，共60分．

BDCBB DCBCB AA

二、填空題：每小題４分，共16分．

13. 300 14.（文），（理）3。 ⒖ ⒗①③④.

三、解答題：

17．解：（Ⅰ）∵ =（sinB，1－cosB) , 且與向量=（2，0）所成角為

∴ ，∴ tan = ，又∵ 0<B<p Þ 0< < ，

∴ = ，∴ B = 。

（Ⅱ）由（1）可得A + C = ，

∴， 8分

∵，∴， 10分，∴，

，當(dāng)且僅當(dāng)。 12分

18.(文科))解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2 x）人． (I)∵，∴．

即,∴．∴x=2．故文娛隊(duì)共有5人．(8分)

(II) .(12分)

(理科)解:(Ⅰ) 甲得66分(正確11題)的概率為,……2分

乙得54分(正確9題)的概率為,……4分

顯然，即甲得66分的概率與乙得54分的概率一樣大. ……6分

(Ⅱ)設(shè)答錯(cuò)一題倒扣x分，則學(xué)生乙選對(duì)題的個(gè)數(shù)為隨機(jī)選擇20個(gè)題答對(duì)題的個(gè)數(shù)的期望為,得分為,

,令,得,

即每答錯(cuò)一題應(yīng)該倒扣2分 ……12分

19．解：（Ⅰ）取BD中點(diǎn)N.連AN、MN. 就是異面直線(xiàn)AM與BC所成的角，在中，（4分）

（Ⅱ）取BE中點(diǎn)P.連AP、PM,作于過(guò)作于連MH. ，，即AB 的平面角，在AMP中，

在ABP中，

二面角的大小，為（8分）

（Ⅲ）若將圖(1)與圖(2)面ACD重合，該幾何體是5面體

這斜三棱柱的體積=3V_A-BCD=3´´´= （12分）

20．（文科） (Ⅰ) 　∵－(y＋3ax)＋(x³－1)＝0，∴＝(y＋3ax)－(x³－1)

∴(y＋3ax)＋[－(x³－1)]＝1，即y＝f(x)＝x³－3ax………………………2分

∴f^/(x)＝3x²－3a＝3(x²－a)…………………………………………………4分

　　　　當(dāng)a≤0時(shí)，f^/(x)＝3(x²－a)≥0對(duì)x∈R恒成立，f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，＋∞)

　　　　當(dāng)a＞0時(shí)，f^/(x)＞0，x＜－或x＞

f^/(x)＜0得－＜x＜…………………………………………6分

　　　　此時(shí)，函數(shù)f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函數(shù)，

在(－，)上是減函數(shù)……………………………………8分

　　　　(Ⅱ)∵a＝1，∴f^/(x)＝3x²－3，直線(xiàn)4x＋y＋m＝0的斜率為－4………………9分

　　　　　假設(shè)f^/(x)＝－4，即3x²＋1＝0無(wú)實(shí)根

　　　　∴直線(xiàn)4x＋y＋m＝0不可能是函數(shù)f(x)圖象的切線(xiàn)………………………………12分

（理科）(Ⅰ)∵－[y＋2f ^/(1)]＋ln(x＋1)＝0，∴＝[y＋2f ^/(1)]－ln(x＋1)

由于A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)　即[y＋2f ^/(1)]＋[－ln(x＋1)]＝1…………………2分

∴y＝f(x)＝ln(x＋1)＋1－2f ^/(1)

f ^/(x)＝，得f ^/(1)＝，故f(x)＝ln(x＋1)…………………………………4分

（Ⅱ）令g(x)＝f(x)－，由g^/(x)＝－＝

∵x＞0，∴g^/(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)………………6分

　　　　　　故g(x)＞g(0)＝0

即f(x)＞………………………………………………………………8分

　　　（Ⅲ）原不等式等價(jià)于x²－f(x²)≤m²－2bm－3

　　　　令h(x)＝x²－f(x²)＝x²－ln(1＋x²)，由h^/(x)＝x－＝…………………10分

當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，h(x)_max＝0，∴m²－2bm－3≥0

令Q(b)＝m²－2bm－3，則

得m≥3或m≤－3……………12分

21.解：（I）由

因直線(xiàn)相切，故所求橢圓方程為（II）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：

當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：由

即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）.事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下。

當(dāng)直線(xiàn)L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0，1）

若直線(xiàn)L不垂直于x軸，可設(shè)直線(xiàn)L：

由

記點(diǎn)、

∴TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0，1）,故在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿(mǎn)足條件.

22．(文科)解：（I）∵. ∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)l_n的斜率為.

∴切線(xiàn)l_n的方程為. （2分）

令得，∴.

依題意點(diǎn)在直線(xiàn)上，∴ 又. （4分）

∴數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. ∴. （5分）

（Ⅱ）由已知.

∴. ①

. ②

①―②得

. （9分）

∴ （10分）

又時(shí)，.

又當(dāng)時(shí)，. ∴.∴當(dāng)時(shí)，.

∴ ∴. （13分）綜上. （14分）

22．(理科)解： (Ⅰ)∵f(1)＝1，∴f(x)＝e^a^－1＝1 ∴a＝1 ……2分

(Ⅱ) x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝xe，

f＇(x)＝e＋xe(－2x＋a)＝(－2x²＋ax＋1)e,……3分

f＇(x)≥0，

∵t（0）＝1∴－2x²＋ax＋1＞0在(0，1)恒成立Þ t (1) ≥0Þa ≥1……4分

∴當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)在(0，1)上是增函數(shù)； ……5分

又當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)在(0，＋∞)也是單調(diào)遞增的； ……6分

當(dāng)a＞1時(shí)，∵＝e^a^－1＞1=f(1)，此時(shí)，f(x)在(0，＋∞)不一定是增函數(shù).…… 7分

(Ⅲ)當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g(x)＝lnf(x)＋x²－ax＝lnx，當(dāng)n≥2時(shí)，

欲證：－＜nk＝1－n，

即證－1－2－3－……－(n－1)＜ln＜1＋＋＋……＋－n
即需證

－1－2－3－……－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n
猜想1－＜lnt＜t－1(其中0＜t＜1).……8分

構(gòu)造函數(shù)h(t)＝lnt－1＋(0＜t＜1)
∵h(yuǎn)＇(t)＝－＝＜0，∴h(t)在(0，1)上時(shí)單調(diào)遞減的，

∴h(t)＞h（1）=0，即有l(wèi)nt＞1－……10分

設(shè)s(t)＝lnt－t＋1(0＜t＜1)，

同理可證s(t)＜0，∴1－＜lnt＜t－1(0＜t＜1)成立 ……12分

分別取t＝，，……，(n≥2)，所得n－1個(gè)不等式相加即得：

－1－2－3－…－(n－1)＜ln1＋ln＋ln＋……＋ln＜1＋＋＋……＋－n

∴－＜nk＝1－n ……14分

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