新教材高考數學模擬題精編詳解第八套試題
題號
一
二
三
總分
1～12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
分數
說明：本套試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分．考試時間：120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題,共60分）
一、本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的．
1．設a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則（ ）
①（a?b）c-（c?a）b＝0
②|a|-|b|＜|a-b|；
③（b?c）a-（c?a）b不與c垂直；
④（
-4|b|．
其中的真命題是（ ）
A．②④ B．③④ C．②③ D．①②
2．若直線mx＋ny＝4和⊙O∶
沒有交點，則過（m，n）的直線與橢圓
的交點個數（ ）
A．至多一個 B．2個
C．1個 D．0個
3．將正方形ABCD沿對角線BD折成120°的二面角，C點到
處，這時異面直線AD與
所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．現用鐵絲做一個面積為
A．
5．在△ABC中，
＝5，
＝3，
＝6，則
＝（ ）
A．13 B．26 C．
D．24
6．一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積與半球的體積恰好相等，則圓錐軸截面頂角的余弦值是（ ）
A． B．
C．
D．
7．已知雙曲線
的離心率
，
．雙曲線的兩條漸近線構成的角中，以實軸為角平分線的角記為
，則的取值范圍是（ ）．
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
8．已知函數
為偶函數
＜＜
，其圖像與直線y＝2的某兩個交點橫坐標為
，
，
的最小值為，則（ ）
A．
，
B．
，
C．，
D．，
9．過拋物線
的焦點作直線l交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標為3，則
等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
10．（理）一個直角三角形的三內角的正弦值成等比數列，其最小內角為（ ）
A．
B．
C．
D．
（文）一個直角三角形的三內角的正弦成等比數列，則公比的平方為（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（理）參數方程
為參數且0＜＜
表示（ ）
A．過點（1，）的雙曲線的一支
B．過點（1，）的拋物線的一部分
C．過點（1，）的橢圓的一部分
D．過點（1，）的圓弧
（文）關于不等式
的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若
，則，，
的大小關系是（ ）
A．
B．
C．
1B．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
得分
答案
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本題共4小題，共16分，把答案填在題中的橫線上
13．
是定義在實數有R上的奇函數，若x≥0時，
，則
________．
14．若點P（
，
）在直線上
上，則
________．
15．用一個與正方體的各面都不平行的平面去截正方體，截得的截面是四邊形的圖形可能是下列選項中的________（把所有符合條件的圖形序號填入）．
①矩形 ②直角梯形
③菱形 ④正方形
16．某宇宙飛船的運行軌道是以地球中心F為焦點的橢圓，測得近地點A距離地面
，遠地點B距離地面
，地球半徑為
，關于這個橢圓有以下四種說法：
①焦距長為
；②短軸長為
；③離心率
；④若以AB方向為x軸正方向，F為坐標原點，則與F對應的準線方程為
，其中正確的序號為________．
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（12分）某廠規定，如果工人在第一季度里有1個月完成產生任務，可得獎金90元；如果有2個月完成任務，可得獎金210元；如果有3個月完成任務，可得獎金330元；如果三個月都未完成任務，則沒有獎金．假設某工人每個月完成任務與否是等可能的，求此工人在第一季度里所得獎金的期望．
18．（12分）無窮數列
的前n項和
，并且
≠
．
（1）求p的值；
（2）求的通項公式；
（3）作函數
，如果
，證明：
．
甲、乙任選一題，若甲乙均解答，則只按19（甲）評分．
19．（12分）（甲）如圖，已知斜三棱柱
的側面
⊥底面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝
，又
⊥，＝．
（1）求側棱
與底面ABC所成的角的大小；
（2）求側面
與底面所成二面角的大小；
（3）求點C到側面的距離．
（乙）在棱長為a的正方體
中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且AE＝BF．
（1）求證：
；
（2）當三棱錐
的體積取得最大值時，求二面角
的大小（結果用反三角函數表示）．
20．（12分）在拋物線上存在兩個不同的點關于直線l；y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍．
21．（12分）某地區預計明年從年初開始的前x個月內，對某種商品的需求總量（萬件）與月份x的近似關系為：
，且
．
（1）寫出明年第x個月的需求量
（萬件）與月x的函數關系，并求出哪個月份的需求量最大，最大需求量是多少？
（2）如果將該商品每月都投放市場p萬件（銷售未完的商品都可以在以后各月銷售），要保證每月都足量供應，問：p至少為多少萬件？
22．（14分）已知函數
的定義域為[
，
]，值域為
，
，并且在
，
上為減函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：
；
（3）若函數
，
，的最大值為M，求證：
1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．B 10．C（文、理）
11．B（文理） 12．C 13．-1 14．-2 15．①③④
16．①③④
17．設
：該工人在第一季度完成任務的月數，
：該工人在第一季度所得獎金數，則與的分布列如下：
∴ 
．
答：該工人在第一季度里所得獎金的期望為153.75元．
18．（1）∵ 
∴ 
，且p＝1，或
．
若是，且p＝1，則由
．
∴ 
，矛盾．故不可能是：，且p＝1．由，得
．
又，∴ 
．
（2）∵ 
，
，
∴ 
．
．
當k≥2時，
． ∴ n≥3時有
．
∴ 對一切
有：
．
（3）∵ 
，
∴ 
． 
．
故
．
∴ 
．
又
．
∴ 
．
故 
．
19．（甲）（1）∵ 側面
底面ABC， ∴ 
在平面ABC上的射影是AC．
與底面ABC所成的角為∠
．
∵ 
，
， ∴ ∠＝45°．
（2）作
⊥AC于O，則⊥平面ABC，再作OE⊥AB于E，連結
，則
，所以∠
就是側面
與底面ABC所成二面角的平面角．
在Rt△中，
，
，
∴ 
． 
60°．
（3）設點C到側面的距離為x．
∵ 
，
∴ 
．（*）
∵ 
，
， ∴ 
．
又
，∴ 
．
又
． ∴ 由（*）式，得
．∴ 
（乙）（1）證明：如圖，以O為原點建立空間直角坐標系．
設AE＝BF＝x，則
（a，0，a），F（a-x，a，0），
（0，a，a），E（a，x，0），
∴ 
（-x，a，-a），
（a，x-a，-a）．
∵ 
，
∴ 
．
（2）解：記BF＝x，BE＝y，則x＋y＝a，則三棱錐
的體積為
．
當且僅當
時，等號成立，因此，三棱錐的體積取得最大值時，
．
過B作BD⊥BF交EF于D，連結
，則
．
∴ ∠
是二面角
的平面角．在Rt△BEF中，直角邊
，BD是斜邊上的高， ∴ 
在Rt△中，tan∠
．故二面角
的大小為
．
20．∵ k＝0不符合題意， ∴ k≠0，作直線
：
，則
．
∴ 滿足條件的
由
消去x，得
，
．
．（*）
設
，
、
、，則 
．
又
．
∴ 
．
故AB的中點
，
． ∵ l過E， ∴ 
，即 
．
代入（*）式，得
21．（1）
．當x≥2時，
．
∴ 
，且
．
∵ 
．
∴ 當x＝12-x，即x＝6時，
（萬件）．故6月份該商品的需求量最大，最大需求量為
萬件．
（2）依題意，對一切
{1，2，…，12}有
．
∴ 
（x＝1，2，…，12）．
∵ 
∴ 
． 故 p≥1.14．故每個月至少投放1.14萬件，可以保證每個月都保證供應．
22．（1）按題意，得
．
∴ 
即 
．
又
∴ 關于x的方程
．
在（2，＋∞）內有二不等實根x＝
、
．
關于x的二次方程
在（2，＋∞）內有二異根、．
．
故 
．
（2）令
，則
．
∴ 
．
（3）∵ 
，
∴ 
．
∵ 
， ∴ 當（，4）時，
；當（4，）是．
又
在[，]上連接，
∴ 在[，4]上遞增，在[4，]上遞減．
故 
．
∵ ，
∴ 0＜
．
∴ 
，矛盾．故0＜M＜1．
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