絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試
數學（理工農醫類）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3
至4頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．滿分150分，考試時間120分鐘．
注意事項：
1． 答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規定的位置貼好條形碼．
2． 每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標號．答在試卷上的答案無效．
參考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互獨立，那么 其中R表示球的半徑
P(AB)＝P(A)P(B) 球的體積公式
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么 V＝πR2
n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率 其中R表示球的半徑
P(k)＝Pk(1－P)n－k
本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
第Ⅰ卷（選擇題 共30分）
一、選擇題
1．考生不能將答案直接答在試卷上，必須答在答題卡上．
評分說明：
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
4．只給整數分數―選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題
⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C
二、填空題
⒀45 ⒁ ⒂ ⒃25
三、解答題
17．解：（Ⅰ）若a⊥b，則sinθ＋cosθ＝0，……………2分
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；………………4分
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝
＝，………………10分
當sin(θ＋)＝1時，|a＋b|取得最大值，即當θ＝時，|a＋b|最大值為＋1．……12分
18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值為0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝?＝＝
P(ξ＝1)＝?＋?＝
P(ξ＝2)＝?＋?＝
P(ξ＝3)＝?＝． ………………8分
ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
數學期望為Eξ＝1.2．
(Ⅱ)所求的概率為
p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ ……………12分
19．解法一：
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED為異面直線AC1與BB1的公垂線．……6分
（Ⅱ）連接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1為正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足為F，連接A1F，則A1F⊥AD，∠A1FE為二面角A1－AD－C1的平面角．
不妨設AA1＝2，則AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1為60°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）如圖，建立直角坐標系O－xyz，其中原點O為AC的中點．
設A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．
則C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分
?＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
?＝0，∴ED⊥AC1， ……6分
所以ED是異面直線BB1與AC1的公垂線．
（Ⅱ）不妨設A(1，0，0)，則B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
?＝0，?＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，
＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，
?＝0，?＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，
∴ EC⊥面C1AD． ……10分
cos＜，＞＝＝，即得和的夾角為60°．
所以二面角A1－AD－C1為60°． ………12分
20．解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
對函數g(x)求導數：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分
(i)當a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數，
又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即當a≤1時，對于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分
(ii)當a＞1時，對于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是減函數，
又g(0)＝0，所以對0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（－∞，1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即為g(x)≥g(0)成立． ……3分
對函數g(x)求導數：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分
當x＞ ea－1－1時，g′(x)＞0，g(x)為增函數，
當－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)為減函數， ……9分
所以要對所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要條件為ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范圍是（－∞，1]． ……12分
21．解：(Ⅰ)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
將①式兩邊平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
拋物線方程為y＝x2，求導得y′＝x．
所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出兩條切線的交點M的坐標為(，)＝(，－1)． ……4分
所以?＝(，－2)?(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以?為定值，其值為0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．
|FM|＝＝
＝
＝＝＋．
因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是 S＝|AB||FM|＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且當λ＝1時，S取得最小值4．
22．解：(Ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．
(Ⅱ)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…． ……8分
下面用數學歸納法證明這個結論．
(i)n＝1時已知結論成立．
(ii)假設n＝k時結論成立，即Sk＝，
當n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1時結論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數n都成立． ……10分
于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1時，a1＝＝，所以
｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，…． ……12分
2006高考數學試題全國II卷理科試題
本試卷分第Ｉ卷（選擇題）和第ＩＩ卷（非選擇題）兩部分。第Ｉ卷１至２頁。第ＩＩ卷３至４頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ｉ卷
注意事項：
１．答題前，考生在答題卡上務必用黑色簽字筆將自己的姓名、準考號填寫清楚，并貼好條形碼。請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目。
２．每小題選出答案后，用２Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效。
其中Ｒ表示球的半徑
球的體積公式
其中Ｒ表示球的半徑
參考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么
如果事件Ａ、Ｂ相互獨立，那么
如果事件Ａ在一次試驗中發生的概率是Ｐ，那么
次獨立重復試驗中恰好發生次的概率是
一．選擇題
（1）已知集合，則 (D)
（A） （B）
（C） （D）
解析:,用數軸表示可得答案D
考察知識點有對數函數的單調性,集合的交集 本題比較容易.
（2）函數的最小正周期是(D)
（A） （B） （C） （D）
解析: 所以最小正周期為,故選D
考察知識點有二倍角公式,最小正周期公式 本題比較容易.
（3）(A)
（A） （B） （C） （D）
解析: 故選A
本題考察的知識點復數的運算,(乘法和除法),比較簡單
（4）過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(A)
（A） （B） （C） （D）
解析:設球的半徑為R, 過球的一條半徑的中點，作垂直于該半徑的平面,由勾股定理可得一個半徑為的圓,所以,故選A
本題主要考察截面的形狀和球的表面積公式,難度中等
（5）已知的頂點B、C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則的周長是 ( C)
（A） （B）6 （C） （D）12
解析(數形結合)由橢圓的定義橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C
本題主要考察數形結合的思想和橢圓的基本性質,難度中等
（6）函數的反函數為(B)
（A） （B）
（C） （D）
解析:所以反函數為故選B
本題主要考察反函數的求法和對數式與指數式的互化,難度中等
（7）如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、則(A)
（A） （B）
（C） （D）
解析:連接,設AB=a,可得AB與平面所成的角為,在,同理可得AB與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選A
本題主要考察直線與平面所成的角以及線面的垂直關系,要用到勾股定理及直角三角形中的邊角關系.有一定的難度
（8）函數的圖像與函數的圖像關于原點對稱，則的表達式為(D)
（A） （B）
（C） （D）
解析(x,y)關于原點的對稱點為(-x,-y),所以 故選D
本題主要考察對稱的性質和對數的相關性質,比較簡單,但是容易把與搞混,其實
（9）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為(A)
（A） （B） （C） （D）
解析:雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A
本題主要考察雙曲線的漸近線方程和離心率公式,涉及a,b,c間的關系,比較簡單
（10）若則 =(C)
（A） （B）
（C） （D）
解析:
所以,因此故選C
本題主要考察函數解析式的變換和三角函數的二倍角公式,記憶的成分較重,難度一般
（11）設是等差數列的前項和，若則(A)
（A） （B） （C） （D）
解析:由等差數列的求和公式可得且
所以,故選A
本題主要考察等比數列的求和公式,難度一般
（12）函數的最小值為(C)
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
解析:表示數軸上一點到1,2,3…19的距離之和,可知x在1―19最中間時f(x)取最小值.即x=10時f(x)有最小值90,故選C
本題主要考察求和符號的意義和絕對值的幾何意義,難度稍大,且求和符號不在高中要求范圍內,只在線性回歸中簡單提到過.
理科數學
第ＩＩ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：
本卷共2頁，10小題，用黑碳素筆將答案答在答題卡上。答在試卷上的答案無效。
二．填空題：本大題共４小題，每小題４分，共１６分，把答案填在橫線上。
（13）在的展開式中常數項為 45（用數字作答）
解析: 要求常數項,即40-5r=0,可得r=8代入通項公式可得
本題利用二項式的通項公式(讓次數為0,求出r)就可求出答案,比較簡單
（14）已知的三個內角A、B、C成等差數列，且則邊BC上的中線AD的長為
解析: 由的三個內角A、B、C成等差數列可得A+C=2B而A+B+C=可得
AD為邊BC上的中線可知BD=2,由余弦定理定理可得
本題主要考察等差中項和余弦定理,涉及三角形的內角和定理,難度中等
（15）過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率
解析(數形結合)由圖形可知點A在圓的內部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對的圓心角最小,只能是直線,所以
本題主要考察數形結合思想和兩條相互垂直的直線的斜率的關系,難度中等
（16）一個社會調查機構就某地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業等方面的關系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調查，則在（元）月收入段應抽出 25 人。
解析:由直方圖可得（元）月收入段共有人
按分層抽樣應抽出人
本題主要考察直方圖和分層抽樣,難度一般
三．解答題：本大題共６小題，共７４分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分１２分）
已知向量
（I）若求 （II）求的最大值。
解(1).
當=1時有最大值,此時
最大值為
本題主要考察以下知識點1.向量垂直轉化為數量積為0 2.特殊角的三角函數值
3.三角函數的基本關系以及三角函數的有界性 4.已知向量的坐標表示求模
難度中等,計算量不大
（18）（本小題滿分１２分）
某批產品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意出取2件產品進行檢驗。設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品。
（I）用表示抽檢的6件產品中二等品的件數，求的分布列及的數學期望；
（II）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率。
解(1.)
所以的分布列為
0
1
2
3
P
的數學期望E()=
(2)P()=
本題主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,難度對于民族地區學生較大
（19）（本小題滿分１２分）
如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點。
（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；
（II）設求二面角的大小。
提示:1證明與兩條異面直線都垂直相交 利用等腰三角形
2 連,由可得為等腰直角三角形,因此在平面內的射影為點所以,所以二面角為(或)
本題主要考察以下知識點1.異面直線的公垂線段的定義(與兩條異面直線均垂直切相交)
2.直棱柱的性質(側棱垂至于底面) 3.三角形的邊的關系
4.二面角的求法(可用射影面積或者直接作出二面角) 難度對于民族地區考生較大
（20）（本小題１２分）
設函數若對所有的都有成立，求實數的取值范圍。
解析:令 對g(x)求導得
令
當時,對所有的x>0都有,所以上為單調增函數
又g(0)=0,所以對 即當所以成立
當a>1時,對于 所以g(x)在 所以對于
即f(x)<ax, 所以當a>1時不一定成立
綜上所述可知a的取值范圍是
本題主要考察了函數的導數和利用導數判斷函數的單調性,涉及分類討論的數學思想
難度較大
（21）（本小題滿分為１４分）
已知拋物線的焦點為F，A、B是熱線上的兩動點，且過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M。
（I）證明為定值；
（II）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值。
提示 F點的坐標為(0,1)設A點的坐標為 B點的坐標為
由可得
因此
過A點的切線方程為 (1)
過B點的切線方程為 (2)
解(1)( 2)構成的方程組可得點M的坐標,從而得到=0 即為定值
2. =0可得三角形面積
所以
當且僅當時取等號
本題主要考察共線向量的關系,曲線的切線方程,直線的交點以及向量的數量積等知識點
涉及均值不等式,計算較復雜.難度很大
（22）（本小題滿分１２分）
設數列的前項和為，且方程
有一根為
（I）求
（II）求的通項公式
提示:1 為方程的根,代入方程可得
將n=1和n=2代入上式可得
2. 求出等,可猜想
并用數學歸納法進行證明
本題主要考察1.一般數列的通項公式 求和公式間的關系
2.方程的根的意義(根代入方程成立)
3.數學歸納法證明數列的通項公式(也可以把分開為,可得
難道較大,不過計算較易,數列的前面一些項的關系也比較容易發現
試卷總體評價難度不算大,考察知識點不多.注重對一些基本公式以及數形結合等數學思想的考察,選擇題填空題較簡單,但解答題有一定的難度,保證學習一般的學生能拿到100左右的分數,但是得高分也比較困難.有較好的區分度
函數的周期性以及函數的連續性和極限等知識點沒在試卷的考察范圍內,新題不多.
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