絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（文史類）（北京卷）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘 考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1.答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號除黑。如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題 號
二
三
總 分
15
16
17
18
19
20
分數
（9）若三點A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共線，則a的值等于 。
（10）在的展開式中，x3的系數是 .（用數字作答）
（11）已知函數的反函數的圖象經過點（-1，2），那么a的值等于 .
（12）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b與a-b的夾角的大小是 .
（13）在△ABC中，A，B，C所對的邊長分別為a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,則a∶b∶c= , B的大小是 .
(14) 已知點P(x,y)的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO|的最小值等于____________,最大值等于______________.
(15)（本小題共12分）已知函數f(x)=
(Ⅰ)求f(x)的定義域；
(Ⅱ)設α是第四象限的角，且tan=，求f()的值.
（16）（本小題共13分）
已知函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如圖所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
（17）（本小題共14分）
如圖，ABCD―A1B1C1D1是正四棱柱.
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC1A1;
（Ⅱ）]若二面角C1―BD―C的大小為60o,求異面直線BC1與AC所成角的大小.
（18）（本小題共13分）
某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案.
方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；
方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，這兩門都及格為考試通過.
三、解答題:本大題共6小,共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
假設某應聘者對三門指定課程考試及格的概率分別是0.5，0.6，0.9，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.求：
(Ⅰ)該應聘者用方案一考試通過的概率；
(Ⅱ)該應聘者用方案二考試通過的概率.
（19）（本小題共14分）
橢圓C:的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于兩點，且A、B關于點M對稱，求直線l的方程.
（20）（本小題共14分）
設等差數列{an}的首項a1及公差d都為整數，前n項和為Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求數列｛an｝的通項公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的數列｛an｝的通項公式.
答案:
一、（1）―（8）ABCA DBCC
二、（9）4 （10）84 （11）2 （12） （13）5：7：8
（14）
絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（文史類）（北京卷）（編輯：寧岡中學張建華）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘 考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題 共40分）
注意事項：
1.答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名，準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。
2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號除黑。如需改動，用像皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不能答在試卷上。
（1）設集合A=，B=，則AB等于（A）
(A) (B) (C)｛x|x>－3｝ (D) ｛x|x<1｝
解：集合A=＝｛x|x<1｝，借助數軸易得選A
(2)函數y=1+cosx的圖象（ B ）
（A）關于x軸對稱 （B）關于y軸對稱
（C）關于原點對稱 （D）關于直線x=對稱
解：函數y=1+cos是偶函數，故選B
（3）若a與b-c都是非零向量，則“a?b=a?c”是“a(b-c)”的（ C ）
（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分必要條件 (D) 既不充分也不必要條件
解：ÛÛÛ
故選C
（4）在1，2，3，4，5這五個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為偶數的共有（ A ）
（A）36個 （B）24個 （C）18個 （D）6個
解：依題意，所選的三位數字只有一種情況：即一偶兩奇，有＝36，故選A
（5）已知是（-，+）上的增函數，那么a的取值范圍是（ D ）
（A）(1，+) （B）(-,3) (C) (D)(1,3)
解：依題意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又當x<1時，（3－a）x－4a<3－5a，當x³1時，logax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故選D
(6)如果-1，a,b,c,-9成等比數列，那么（B ）
（A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
解：由等比數列的性質可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9且b與奇數項的符號相同，故b＝－3，選B
(7)設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是（ C ）
三、本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
(C) 若AB=AC，DB=DC，則AD=BC
(D) 若AB=AC，DB=DC，則AD BC
解：A顯然正確；B也正確，因為若AD與BC共面，則必有AC與BD共面與條件矛盾；
C不正確，如圖所示：
D正確，用平面幾何與立體幾何的知識都可證明。選C
(8)下圖為某三岔路口交通環島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口A、B、C的機動車輛數如圖所示，圖中x1`x2`x3，分別表示該時段單位時間通過路段,,的機動車輛數（假設：單位時間內，在上述路段中，同一路段上駛入與駛出的車輛數相等），則（ C ）
（A）x1＞x2＞x3 （B）x1＞x3＞x2
（C）x2＞x3＞x1 （D）x3＞x2＞x1
解：解：依題意，有x1＝50＋x3－55＝x3－5，\x1<x3，
同理，x2＝30＋x1－20＝x1＋10\x1<x2，同理，
x3＝30＋x2－35＝x2－5\x3<x2故選C
絕密★啟用前
2006年普通高等學校招生全國統一考試
數 學（文史類）（北京卷）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘 考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅱ卷（共110分）
注意事項：
1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。
2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚。
題 號
二
三
總 分
15
16
17
18
19
20
分數
（9）若三點A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共線，則a的值等于 4 。
解：＝（a－2，－2），＝（－2，2），依題意，向量 與共線，故有2（a－2）－4＝0，得a＝4
（10）在的展開式中，x3的系數是84 .（用數字作答）
解：，令7－2r＝3，解得r＝2，故所求的系數為＝84
（11）已知函數的反函數的圖象經過點（-1，2），那么a的值等于 2 .
解：依題意，當x＝2時，y＝1，代入中，得a＝2
（12）已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b與a-b的夾角的大小是 .
解：a+b＝（cos＋cos，sin＋sin），a-b＝（cos－cos，sin－sin），設
a+b與a-b的夾角為q，則cosq＝0，故q＝
（13）在△ABC中，A，B，C所對的邊長分別為a,b,c.若sinA:sinB:sinC=5∶7∶8,則a∶b∶c= 5∶7∶8 , B的大小是 60° .
解：由正弦定理得 Ûa:b:c＝5:7:8設a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得的大小為.
(14) 已知點P(x,y)的坐標滿足條件點O為坐標原點，那么|PO|的最小值等于,最大值等于.
解：畫出可行域，如圖所示：
易得A（2，2），OA＝
B（1，3），OB＝
C（1，1），OC＝
故|OP|的最大值為，
最小值為.
故f(α)= = = =.
(16)(共13分)
解法一：
三、解答題(本大題共6小題，共80分)
(15)(共12分)
解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),
故f(x)的定義域為｛|x|x≠kπ+,k∈Z｝.
(Ⅱ)因為tanα=,且α是第四象限的角, 所以sinα=,cosα=,
(Ⅰ)由圖象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上(x)＜0.
在(2,+∝)上 (x)＞0.
故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上遞增，在(1,2)上遞減.
因此f(x)在x=1處取得極大值，所以x0=1.
(Ⅱ) (x)=3ax2+2bx+c,
由(1)=0, (2)=0, f(1)=5,
得 解得a=2,b=－9,c=12.
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m,
又(x)=3ax2+2bx+c, 所以a=,b=
f(x)= 由f(l)=5, 即 得m=6.
所以a=2,b=－9,c=12.
（17）（共14分）
解法一：
（Ⅰ）∵ABCD―A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC 又∵AC，CC1平面ACC1A1,
且AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面ACC1A1.
(Ⅱ) 設BD與AC相交于O,連接C1O. ∵CC1⊥平面ADCD, ∴BD⊥AC,
∴BD⊥C1O, ∴∠C1OC∠是二面角C1―BD―C的平面角，
∴∠C1OC=60o. 連接A1B. ∵A1C1//AC, ∴∠A1C1B是BC1與AC所成的角.
設BC=a,則∴異面直線BC1與AC所成角的大小為
解法二：
（Ⅰ）建立空間直角坐標系D―xyz，如圖.
設AD=a,DD1=b,則有D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b),
(Ⅱ)設BD與AC相交于O,連接C1O,則點O坐標為
∴異面直線BC1與AC所成角的大小為
（18）（共13分）
解：記該應聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為A，B,C，
則P(A)=0.5，P(B)＝0.6，P(C)=0.9.
(Ⅰ) 應聘者用方案一考試通過的概率
p1=P(A?B?)+P(?B?C)+P(A??C)+P(A?B?C)
=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9
=0.03+0.27+0.18+0.27
=0.75.
(Ⅱ) 應聘者用方案二考試通過的概率
p2=P(A?B)+P(B?C)+ P(A?C)
=×(0.5×0.6+0.6×0.9+0.5×0.9)
=×1.29
=0.43
(19)(共14分)
解法一：
(Ⅰ)因為點P在橢圓C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,
從而b2=a2－c2=4,
所以橢圓C的方程為＝1.
(Ⅱ)設A，B的坐標分別為（x1,y1）、（x2,y2）.
已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
從而可設直線l的方程為
y=k(x+2)+1,
代入橢圓C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因為A，B關于點M對稱.
所以
解得，
所以直線l的方程為
即8x-9y+25=0.
(經檢驗，所求直線方程符合題意)
解法二：
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）.
設A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且
①
②
由①－②得
③
因為A、B關于點M對稱，
所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，
即直線l的斜率為，
所以直線l的方程為y－1＝（x+2），
即8x－9y+25=0.
(經檢驗，所求直線方程符合題意.)
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,
又a11=a1+10d=0,
故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通項公式是an=22－2n,n=1,2,3…
（Ⅱ）由得 即
由①+②得－7d＜11。
即d＞－。
由①+③得13d≤－1
即d≤－
于是－＜d≤－
又d∈Z,故
d=－1
將④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的數列{an}的通項公式是
an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
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