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1．函數的定義域為（   ）

A.             B.  

C.  　　　　　 　　 D.

2．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是（    ）

3．已知，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是（  ）

 （A）1       （B）2         （C）           （D）

4．復數  （    ）

A．2                  B．－2             C．                      D．

5．已知數列對任意的滿足，且，那么等于（    ）

A．             B．            C．            D．

6．若，則（    ）

A．<<                   B．<<         C． <<              D． <<

7．設P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為（    ）

A．               B．                C．                D．

8．函數的最小值和最大值分別為（    ）

A. －3，1                B. －2，2             C. －3，                 D. －2，

9．定義在上的函數滿足（），，則等于（    ）

A．2              B．3               C．6                   D．9

10．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為（    ）

A．                        B．

C．                    D．

11．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（    ）

A．                B．                C．                  D．

12．如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（  ）

A．96             B．84               C．60                 D．48

2009年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學預測卷

第Ⅱ卷

13．設二元一次不等式組所表示的平面區域為M，使函數y＝a^x(a＞0，a≠1)的圖象過區域M的a的取值范圍是    

14．過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為______________

15．已知雙曲線的離心率是。則＝         

16．已知，為空間中一點，且，則直線與平面所成角的正弦值為         。

17．（本小題滿分10分）

（注意：在試題卷上作答無效）

已知函數．

（Ⅰ）求函數的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判斷函數的奇偶性，并說明理由．

18．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，在四棱錐中，底面四邊長

為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

19．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

設函數為實數。

（Ⅰ）已知函數在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。

20．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂。根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

X₁

5%

10%

X₂

2%

8%

12%

P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

（1）在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY₁、DY₂；

（2）將x（0≤x≤100）萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值。   （注：D(aX + b) = a²DX）

21．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是，一條漸近線的方程是.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.

22．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

數列的前項和為，已知

（Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和。

2009年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學預測卷

       本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至9頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．

第Ⅰ卷

考生注意：

       1．答題前，考生在答題卡上務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請認真核準條形碼上的準考證號、姓名和科目．

       2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效．

       3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

參考公式：

       如果事件互斥，那么                                    球的表面積公式

       如果事件相互獨立，那么                             其中表示球的半徑

                                                 球的體積公式

       如果事件在一次試驗中發生的概率是，那么         

       次獨立重復試驗中恰好發生次的概率               其中表示球的半徑

1．函數的定義域為

A.             B.  

C.  　　　　　 　　 D.

解：函數的定義域必須滿足條件：

2．汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數，其圖像可能是（    ）

解：A． 根據汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結合函數圖像可知；

3．已知，b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是

 （A）1       （B）2         （C）           （D）

解析：本小題主要考查向量的數量積及向量模的相關運算問題。

展開

則的最大值是;

或者利用數形結合, ，對應的點A,B在圓上,

對應的點C在圓上即可.

4．復數  （    ）

A．2                  B．－2             C．                      D．

【標準答案】：A。

【試題解析】：

5．已知數列對任意的滿足，且，那么等于（    ）

A．             B．            C．            D．

【標準答案】: C

【試題分析】: 由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30

【高考考點】: 數列

【易錯提醒】: 特殊性的運用

【備考提示】: 加強從一般性中發現特殊性的訓練。

6．若，則（    ）

A．<<                   B．<<         C． <<              D． <<

【解析】由，令且取知<<

【答案】C

7．設P為曲線C：上的點，且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為，則點P橫坐標的取值范圍為（    ）

A．               B．                C．                D．

【答案】A

【解析】本小題主要考查利用導數的幾何意義求切線斜率問題。依題設切點的橫坐標

為, 且（為點P處切線的傾斜角），又∵，

∴，∴

8．函數的最小值和最大值分別為（    ）

A. －3，1                B. －2，2             C. －3，                 D. －2，

【標準答案】：Ｃ

【試題解析】：∵                                             

∴當時，，當時，；故選Ｃ；

【高考考點】三角函數值域及二次函數值域

【易錯點】：忽視正弦函數的范圍而出錯。

【備考提示】：高考對三角函數的考查一直以中檔題為主，只要認真運算即可。

9．定義在上的函數滿足（），，則等于（    ）

A．2              B．3               C．6                   D．9

解：令，令；

令得

10．設奇函數在上為增函數，且，則不等式的解集為（    ）

A．                        B．

C．                    D．

【解析】.D．由奇函數可知，而，則，當時，；當時，，又在上為增函數，則奇函數在上為增函數，.

11．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面內的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（    ）

A．                B．                C．                  D．

解：C．由題意知三棱錐為正四面體，設棱長為，則，棱柱的高（即點到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.

另解：設為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為

長度均為，平面的法向量為,

則與底面所成角的正弦值為.

12．如圖，一環形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（  ）

A．96             B．84               C．60                 D．48

解析：B.分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；

種四種花有種種法.共有.

另解：按順序種花，可分同色與不同色有

2009年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學預測卷

第Ⅱ卷

13．設二元一次不等式組所表示的平面區域為M，使函數y＝a^x(a＞0，a≠1)的圖象過區域M的a的取值范圍是    

解：區域是三條直線相交構成的三角形（如圖）

顯然，只需研究過、兩種情形，

 且即

14．過雙曲線的右頂點為A，右焦點為F。過點F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則△AFB的面積為______________

解：雙曲線的右頂點坐標，右焦點坐標，設一條漸近線方程為，

建立方程組，得交點縱坐標，從而

15．已知雙曲線的離心率是。則＝         

解：，離心率，所以

16．已知，為空間中一點，且，則直線與平面所成角的正弦值為         。

解：由對稱性點在平面內的射影必在的平分線上作于，連結則由三垂線定理，

設，又,所以，因此直線與平面所成角的正弦值

17．（本小題滿分10分）

（注意：在試題卷上作答無效）

已知函數．

（Ⅰ）求函數的最小正周期及最值；

（Ⅱ）令，判斷函數的奇偶性，并說明理由．

解：（Ⅰ）．

的最小正周期．

當時，取得最小值；當時，取得最大值2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．

．

．函數是偶函數．

18．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，在四棱錐中，底面四邊長

為1的菱形，, , ,為的中點，為的中點

（Ⅰ）證明：直線；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。

方法一（綜合法）  （1）取OB中點E，連接ME，NE

又

  （2）

   為異面直線與所成的角（或其補角）作連接

                ，

                所以 與所成角的大小為

         （3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作

 于點Q，

              又 ,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

                ，

                ，所以點B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標系

,

(1)

設平面OCD的法向量為,則

即

取,解得

(2)設與所成的角為,

   , 與所成角的大小為

(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值,

       由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為

19．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

設函數為實數。

（Ⅰ）已知函數在處取得極值，求的值；

（Ⅱ）已知不等式對任意都成立，求實數的取值范圍。

【解析】（I）在取得極值即

（Ⅱ）即 令即對任意都成立則即

【試題解析】本題考查運用導數求三次函數的單調區間，從而求字母參數的取值范圍，屬于中等題

【高考考點】導數的三大應用

【備考提示】要熟練掌握導數的三大應用：①求斜率：在曲線的某點有切線，則求導后把橫坐標代進去，則為其切線的斜率；②有關極值：就是某處有極值，則把它代入其導數，則為；③單調性的判斷： ，單調遞增；，單調遞減，和一些常見的導數的求法. 要熟練一些函數的單調性的判斷方法有，作差法，作商法，導數法；對于含參范圍問題，解決方法有，當參數為一次時，可直接解出通過均值不等式求最值把其求出；當為二次時，可用判別式法或導數法等求.而此種題型函數與方程仍是高考的必考，以函數為背景、導數為工具，以分析、探求、轉化函數的有關性質為設問方式，重點考查函數的基本性質，導數的應用，以及函數與方程、分類與整合等數學思想.其中試題靈活多變。

20．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X₁和X₂。根據市場分析，X₁和X₂的分布列分別為

X₁

5%

10%

X₂

2%

8%

12%

P

0.8

0.2

P

0.2

0.5

0.3

（1）在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y₁和Y₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差DY₁、DY₂；

（2）將x（0≤x≤100）萬元投資A項目，100－x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取到最小值。   （注：D(aX + b) = a²DX）

【試題解析】 (I)由題設可知, Y₁和Y₂的分布列分別為

Y ₁

5

10

P

0.8

0.2

Y ₂

2

8

12

P

0.2

0.5

0.3

E Y₁=5×0.8+10×0.2=6,

D Y₁=(5-6)²×0.8+(10-6)²×0.2=4,

EY₂=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,

D Y₂=(2-8)²×0.2+(8-8)²×0.5+(12-8)²×0.3=12.

(II)

當時，為最小值.

21．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是，一條漸近線的方程是.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.

本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．滿分12分．

（Ⅰ）解：設雙曲線的方程為（）．由題設得

，解得，所以雙曲線方程為．

（Ⅱ）解：設直線的方程為（）．點，的坐標滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得．

此方程有兩個一等實根，于是，且．整理得．�、�

由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足

，．

從而線段的垂直平分線方程為．

此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得．整理得，．

將上式代入③式得，整理得，．

解得或．

所以的取值范圍是．

22．（本小題滿分12分）

（注意：在試題卷上作答無效）

數列的前項和為，已知

（Ⅰ）寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；

（Ⅱ）設，求數列的前項和。

解：由得：，即，所以，對成立。

由，，…，相加得：，又，所以，當時，也成立。

（Ⅱ）由，得。

而，

，