2006年上海市普通高等學校招生考試
數學模擬試卷（一）
一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）
1．
的共軛復數是____________.
2．
=__________.
3．命題“若
，則
”的逆否命題是_______________________________.
4．已知
，
的值為_____.
5．若圓
與直線
相切，且其圓心在
軸的左側，則
的值為
__________.
6．若關于
的不等式
的解集不是空集，則實數
的取值范圍是_________.
7．.若
是公差非零的等差數列，
是數列的前
項和，則
______.
8．若函數
的反函數是
，則
_____.
9．如圖，正方體
的棱長為，將該正方體沿對角面
切成兩塊，再將這兩塊拼接成一個不是正方體的四棱柱，那么所得四棱柱的全面積為__________.
10．若由圖（1）有面積關系：
， 則由圖（2）有體積關系： 
________________.
圖（1） 圖（2）
11．若雙曲線的漸近線方程為
，則雙曲線的焦點到漸進線的距離與焦點到對稱
中心的距離之比為_______________.
12．構造一個函數
，使它的最小正周期為5，且滿足
，
則
_____________.
二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）
13．有如下三個命題：
①分別在兩個平面內的兩條直線一定是異面直線；
②垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線；
③過平面
的一條斜線有一個平面與平面垂直。
其中正確命題的個數為（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
14．如果函數
的最小正周期是T，且當
時取得最大值，那么（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
15．設
，“
”是“曲線
為橢圓”的（ ）
（A）充分非必要條件 （B）必要非充分條件
（C）充分必要條件 （D）既非充分又非必要條件
16．已知雙曲線的兩個焦點為
，
，P是此雙曲線上的一點，且
，
，則該雙曲線的方程是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）
17．（本小題滿分12分）
設函數
的定義域為集合M，函數
的定義域為集合N.
求：（1）集合M，N；
（2）集合
，
.
18．（本小題滿分12分）
現有四個正四棱柱形容器，1號容器的底面邊長是，高是
；2號容器的底面邊長是，高是；3號容器的底面邊長是，高是；4號容器的底面邊長是，高是。假設
，問是否存在一種必勝的4選2的方案（與
的大小無關），使選中的兩個容器的容積之和大于余下的兩個容器的容積之和？無論是否存在必勝的方案，都要說明理由.
19．（本小題滿分14分）
已知在
中，
。
（1）求的外接圓半徑和角
的值；
（2）求
的取值范圍。
20．（本小題滿分14分）
某種電熱淋浴器的水箱盛滿水是
升，加熱到一定溫度，即可供淋浴用，在放水的同時自動注水，設
分鐘內注水
升，分鐘內放水
升。當水箱內水量接近最小值時，必須停止放水并將水箱注滿，加熱升溫，經一定時間后，才能繼續(xù)放水使用。
（1）放水后幾分鐘水箱內水量接近最少？
（2）規(guī)定每人洗浴用水量為
升，則該淋浴器一次可最多連續(xù)供多少人洗浴？
21．（本小題滿分16分）
數列
的前
項和為
，
。
（1）若數列
成等比數列，求常數
的值；
（2）求數列的通項公式
；
（3）數列中是否存在連續(xù)三項可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的三
項；若不存在，請說明理由。
22．（本小題滿分18分）
設
是定義在
上的函數，如果存在
點，對函數的圖像上任意點
，關
于點的對稱點
也在函數的圖像上，則稱函數關于點對稱，稱為
函數
的一個對稱點. 對于定義在上的函數，可以證明點
是圖像
的一個對稱點的充要條件是
,
.
(1) 求函數
圖像的一個對稱點；
(2)
函數
(
的圖像是否有對稱點？若存在則求之，否則說明理由.
2006年上海市普通高等學校招生考試
一、填空題（本大題滿分48分，每小題4分，共12小題）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5．
；
6．
； 7．； 8．
； 9．
； 10．
；
11．
； 12．
.
二、選擇題（本大題滿分16分，每小題4分，共4小題）
13．C； 14．A； 15．B； 16．C；
三、解答題（本大題滿分86分，本大題共有6題）
17．（1）
；
（2）
； 
18．1號至4號正四棱柱形容器是體積依次為
。
∵ 
，
，
∴ 存在必勝方案，即選擇3號和4號容器。
19．（1）∵ 由正弦定理，
，∴ 
，
。
∵ 
， ∴ 
，即
。∴ 
。
（2）∵ 
，
∴ 
。
20．（1）設放水
分鐘內水箱中的水量為
升
依題意得
；
分鐘時，水箱的水量
升, 放水后
分鐘水箱內水量接近最少；
（2）該淋浴器一次有
個人連續(xù)洗浴， 于是，
，
所以，一次可最多連續(xù)供7人洗浴。
21．（1）由
及
，∴
時
成等比數列。
（2）因
，由（1）知，
，故
。
（3）設存在
，使得
成等差數列，則
，
即
因，所以
，
∴不存在
中的連續(xù)三項使得它們可以構成等差數列。
22．(1)解：設
為函數
圖像的一個對稱點，則
對于
恒成立.即
對于恒成立，
由
，故
圖像的一個對稱點為
.
（2）解：假設
是函數
(
的圖像的一個對稱點，
則
(對于恒成立，
即
對于恒成立，因為
，所以不
恒成立，
即函數(的圖像無對稱點.
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