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1．設集合M=?-1，1?,N=?x?x²+x-2＜0?,則M∩N等于

A．?-1，1?             B．?0?         C．?-1?              D．?-1，0?

2．函數的最小正周期為

A．            B．π            C．2π                      D．4π

3．拋物線x²=4y上一點M到它的焦點的距離為2，則M點的縱坐標為

A．                 B．1             C．2            D．

4．在各項均為正數的等比數列中，a₁=1，a₁+a₂+a₃=7，則a₄+a₅=

A．12             B．16             C．18                 D．24

5．設a=log_0.23，b=log₃0.2，則

A．-1＜b＜a                 B． b＜a＜-1        C．a＜-1＜b       D．b＜-1＜a   

6．用1，2，3，4四個數組成一個沒有重復數字的四位數，要求相鄰數字奇偶性不同，且1不能排在首位，則這樣的四位數的個數是

A．6           B．8             C．12            D．16

7．若x，y滿足條件，則z=x－y的最小值為

A．1         B．－1         C．  3          D．－3

8．把直線y=λx+2按向量a=(－1，2)平移后恰與曲線x²+y²+2x－4y+4=0相切，則實數λ的值為

A．±1              B．1或2            C．                       D．－1或2

9．設f^－1(x)是函數的反函數，使f^－1(x)＞1成立的x取值范圍是

A．                     B．                C．             D．x＜0

10．如圖所示，垂直于地平面豎立著一塊半圓形的木板，某時刻太陽的光線恰與半圓的直徑AB垂直，此時半圓木板在地面上的投影是半個橢圓面，已知半橢圓面的面積與半圓木板的面積之比等于，則光線與地面所成的角的大小為(注：長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓面積為S=πab)

11．現有四個函數：①y=x?sinx ②y=x?cosx ③y=x??cosx? ④y=x?2^x，它們圖像的一部分如下圖所示，但順序已被打亂，則圖象對應的函數序號按照從左到右排序正確的一組是

A．④①②③               B．①④③②                     C．①④②③                    D．③④②①

12．在三棱錐P－ABC， PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分別為棱AB、AC上的動點，且AD=CE，連結DE，當三棱錐P－ABC體積最大時，平面PDE和平面PBC所成的二面角的正弦值為

  A．     B．           C．                    D．

第Ⅱ卷（非選擇題   共90分）

13.若展開式的各項系數之和為64，則展開式中的常數項為____________。

   （用數字作答）

14.在△ABC中，sin²A=sin²B+sinBsinC+sin²C，則A=_____

15.以正多面體各面的中心為頂點，得到一個新的正多面體，我們稱這個新的多面體為原多面體的正子體。一個正四面體A₁的表面積為S₁，它的正子體A₂的表面積為S₂，A₂的正子體A₃的表面積為S₃，??????，如此下去，記第n個正子體的表面積為，已知，則S₁=____________。

16.M和N分別為曲線和x²+y²=1上的動點，則?MN?的最小值為____________。

17.（本題10分）

已知向量a=(sinωx,cosωx), (ω＞0),若函數f(x)=a?b圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為。

（Ⅰ）求ω的最小值

（Ⅱ）求函數f(x)的單調遞增區間。

18.（本題12分）

在梯形ABCD中，BC∥AD，BA⊥AD，AB=BC=AD=a，O是AD的中點，將△DOC沿OC折起，使D位于P處，且二面角P-AB-C的大小為45°。

（Ⅰ）求證：OP⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直線CD與平面 PAB所成的角的大小。

19.（本題12分）

甲、乙兩名運動員每次試跳2米高度成功的概率分別為和p，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，甲、乙各試跳兩次，設乙試跳成功的次數為ξ，且ξ的期望值Eξ=,η表示甲、乙試跳成功的次數差的絕對值。

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）求η的分布列及期望。

20.（本題12分）

已知函數F(x)=2log_a(2x+t-2)-log_ax(a＞0,a≠1,t∈R)的圖象在x=2處的切線平行于x軸。

（Ⅰ）求t的值；

（Ⅱ）若對于任意的x∈[１，4]，都有F(x)≥2，求a的取值范圍。

21.（本題12分）

已知雙曲線的離心率為，它的右準線與漸近線在第一象限內的交點為M，且點M到原點的距離為。

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）直線l過雙曲線C的右焦點F，交它的右支于P、Q兩點，問雙曲線C的實軸上是否存在點N，使得無論直線l處于何種位置，都有∠PNF=∠QNF？若存在，試確定點N的位置；若不存在，說明理由。

22.（本題12分）

已知數列?a_n?的前n項和為S_n,且a₁=4，。

（Ⅰ）求數列?a_n?的通項公式；

（Ⅱ）設數列?b_n?滿足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-(n-1)b_n-2(n∈N^*),求證：b_n＞a_n（n≥2，n∈N^*）；

（Ⅲ）求證：

2009年石家莊市高中畢業班第二次模擬考試試卷

數學（理科）答案

1.C       2. B      3. B      4. D     5.D     6.A

7. A       8.C      9. B      10. A    11.C　  12.C

 1.B       2. C      3. C      4. D     5.D     6.A

7. A       8.B      9. C      10. A    11.B　  12.B

13．20  　            14．　        

15．               16．

17.解：（Ⅰ）依題意，

                                 ……………………3分

∵函數的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離是,

∴函數的最小正周期為,又＞0,

∴，解得=1.      …………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

依題意,≤2≤，…………………8分

所以≤≤，

所以函數的單調遞增區間為[， ]，.    ……………10分

18. 解：（Ⅰ）依題意平行且等于，

 //，又

依題意, .

平面，

平面.……………3分

，

可知為二面角的平面角，.

，，即.

所以平面.……………6分

（II）延長，交于E，連結，.

由(Ⅰ)可知, ,又,

.

,由(Ⅰ)可知, .

平面.

為直線與平面所成的角. ……………9分

在直角三角形中, ,

……………12分

19.  解：(Ⅰ)依題意知，故=，∴=．…………4分

（Ⅱ）的取值可以是0，1，2.

設甲兩次試跳成功的次數為，

(=0)=  +   +  

=++

=．                 …………6分

(=2)= +==.                              

∴(=1)=1(=0)(=2)=． ………9分

故的分布列是

0

1

2

………10分

E=．…………12分

20．解：(Ⅰ)    ……………………3分

∵函數的圖象在處的切線平行于x軸,

 ,

解得.………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由(Ⅰ)可知,

……………………6分

令　　　　

∴當時，,當時，.

∴在上是單調減函數，在上是單調增函數. 　

，.…………………………8分

∴當時，有，當時，有.

∵當時，恒成立, ∴　  …………………………10分

∴可列①，或②

不等式組①的解集為空集，不等式組②得

綜上所述，的取值范圍是：..　……………………12分.

解法二：由于對任意的，都有成立，

所以，即，可得.…………7分

于是可化為.

當時,.

即最小值是32. (當時，上式取等號) …………9分

所以，又，所以.

所以的取值范圍是…………12分

21.解：（Ⅰ）由可得…………2分

由解得,

依題意，,

所以雙曲線C的方程為 …………5分

(Ⅱ)

(?)若直線l的斜率不存在，由雙曲線的對稱性可知，雙曲線C實軸上的任何點都適合題意.       …………………6分

(?)若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k(x3)，

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，N (t，0)

由得，

∵直線l與雙曲線C的右支交于P、Q兩點，

∴

解得k>或k<.                                                              ………………9分

∵∠PNF=∠QNF,∴K_NP=K_NQ. …………………10分

∴∴

即2x₁x₂-(t+3)(x₁+x₂)+6t=0，

將x₁+x₂=代入上式，整理得t=1.

綜上所述：：存在點N滿足條件，點N的坐標是N(1，0). …………12分

22.解：（?）當時，,

,

可得:,

.…………2分

可得, …………4分

（?）(1)當n=2時，不等式成立. …………5分

(2)假設當時，不等式成立，即.

那么,當時，

,所以當時，不等式也成立.

根據(1),(2)可知，當時，.…………8分

（?）設…………9分

上單調遞減,

因為當時, …………10分

 .…………12分