題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知直線
（
）與拋物線
：
和圓
：
都相切，
是的焦點．
（Ⅰ）求
與
的值；
（Ⅱ）設
是上的一動點，以為切點作拋物線的切線
，直線交
軸于點
，以
、
為鄰邊作平行四邊形
，證明：點
在一條定直線上；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點所在的定直線為
， 直線與軸交點為
，連接
交拋物線于
、
兩點，求△
的面積
的取值范圍．
【解析】第一問中利用圓：
的圓心為
，半徑
．由題設圓心到直線的距離
．
即
，解得
（
舍去）
設
與拋物線的相切點為
，又
，得
，
．
代入直線方程得：
，∴
所以，
第二問中，由（Ⅰ）知拋物線方程為
，焦點
． ………………（2分）
設
，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為
．
令
，得切線交軸的點坐標為
所以
，
， ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形
∴
因為是定點，所以點在定直線
第三問中，設直線
，代入
得
結合韋達定理得到。
解：（Ⅰ）由已知，圓：
的圓心為，半徑．由題設圓心到直線的距離．
即，解得（舍去）． …………………（2分）
設與拋物線的相切點為，又，得，．
代入直線方程得：，∴
所以，．
……（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，焦點． ………………（2分）
設，由（Ⅰ）知以為切點的切線的方程為．
令，得切線交軸的點坐標為
所以，， ∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，
∴ 因為是定點，所以點在定直線上．…（2分）
（Ⅲ）設直線，代入得， ……）得
，
…………………………… （2分）
，
．
△的面積范圍是
等軸雙曲線
的中心在原點，焦點在
軸上，與拋物線
的準線交于
兩點，
；則的實軸長為（ ）
【解析】設等軸雙曲線方程為
，拋物線的準線為
，由
,則
,把坐標
代入雙曲線方程得
，所以雙曲線方程為
，即
，所以
，所以實軸長
，選C.
已知點
為圓
上的動點，且不在
軸上，
軸，垂足為
，線段
中點
的軌跡為曲線
，過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
，它與曲線交于
、
兩點。
（I）求曲線的方程；
（II）試證明：在軸上存在定點
，使得
總能被軸平分
【解析】第一問中設
為曲線上的任意一點，則點
在圓
上，
∴
，曲線的方程為
第二問中，設點的坐標為
，直線的方程為
， ………………3分
代入曲線的方程
，可得 
∵
，∴
確定結論直線與曲線總有兩個公共點．
然后設點,的坐標分別
, 
，則
，
要使被軸平分，只要
得到。
（1）設為曲線上的任意一點，則點在圓上，
∴，曲線的方程為． ………………2分
（2）設點的坐標為，直線的方程為， ………………3分
代入曲線的方程，可得 ，……5分
∵，∴
，
∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據點M在橢圓的內部得到此結論）
………………6分
設點,的坐標分別, ，則，
要使被軸平分，只要，
………………9分
即
，
， ………………10分
也就是
，
，
即
，即只要
………………12分
當
時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．
所以在x軸上存在定點
，使得
總能被
軸平分
設橢圓
的左、右頂點分別為
，點
在橢圓上且異于兩點，
為坐標原點.
（Ⅰ）若直線
與
的斜率之積為
，求橢圓的離心率；
（Ⅱ）若
，證明直線
的斜率
滿足
【解析】(1)解：設點P的坐標為
.由題意，有
①
由
，得
，
由
，可得
，代入①并整理得
由于
，故
.于是
，所以橢圓的離心率
（2）證明：（方法一）
依題意，直線OP的方程為
，設點P的坐標為.
由條件得
消去
并整理得
②
由
，
及
，
得
.
整理得
.而
，于是
，代入②，
整理得
由
，故
，因此
.
所以
.
(方法二)
依題意，直線OP的方程為，設點P的坐標為.
由P在橢圓上，有
因為，
，所以
，即
③
由，，得整理得.
于是，代入③，
整理得
解得，
所以.
已知兩點M
,N
,給出下列曲線方程：①
；②
；
③
；④
。在曲線上存在點P滿足
的所有曲線方程是( )
A. ①②③④ B. ①③ C. ②④ D.②③④
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