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（2013•嘉定區二模）如圖，已知點F（0，1），直線m：y=-1，P為平面上的動點，過點P作m的垂線，垂足為點Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）（文）過軌跡C的準線與y軸的交點M作方向向量為

d

=（a，1）的直線m′與軌跡C交于不同兩點A、B，問是否存在實數a使得FA⊥FB？若存在，求出a的范圍；若不存在，請說明理由；
（3）（文）在問題（2）中，設線段AB的垂直平分線與y軸的交點為D（0，y₀），求y₀的取值范圍．

（2008•普陀區一模）定義：將一個數列中部分項按原來的先后次序排列所成的一個新數列稱為原數列的一個子數列．
已知無窮等比數列{a_n}的首項、公比均為

1

2

．
（1）試求無窮等比子數列{a_3k-1}（k∈N^*）各項的和；
（2）是否存在數列{a_n}的一個無窮等比子數列，使得它各項的和為

1

7

？若存在，求出滿足條件的子數列的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）試設計一個數學問題，研究：是否存在數列{a_n}的兩個不同的無窮等比子數列，使得其各項和之間滿足某種關系．請寫出你的問題以及問題的研究過程和研究結論．

（2008•普陀區二模）已知點E，F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，FP相交于點P，且它們的斜率之積為-

1

4

．
（1）求證：點P的軌跡在橢圓C：

x2

4

+y2=1上；
（2）設過原點O的直線AB交（1）題中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為(1，

1

2

)，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）某同學由（2）題結論為特例作推廣，得到如下猜想：
設點M（a，b）（ab≠0）為橢圓C：

x2

4

+y2=1內一點，過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點．則當且僅當k_OM=-k_AB時，△MAB的面積取得最大值．
問：此猜想是否正確？若正確，試證明之；若不正確，請說明理由．