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函數，數列，滿足0＜＜1， ，數列滿足，
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）求證：0＜＜＜1；
（Ⅲ）若且＜，則當n≥2時，求證：＞
一、選擇題
1．選D。提示：在映射f作用下，四邊形ABCD整體平移，面積不變
2,4,6
3．選B。提示：3的對面的數字是6，4 的對面的數字是2，故。
4．選B。提示：設A∪B元素個數為y，可知10≤y≤16, y∈N，又由x = 18－y可得。
5．選A。提示： 可知為一條對稱軸。
6．選A。提示：依題意:課外興趣味小組由4名女生2名男生組成，共有種選法.其概率為
7．選C。提示：設代入得，記，
，，，。
8．選A。提示：
9．選B。提示：原方程兩邊立方并整理得，，顯然，，由于 在 上是增函數，且，，所以。
10．選C。提示：①正確；②正確，即為公垂線AB的中垂面；③正確，過AB中點作 的平行線，則的平分線符合條件；④不正確，關于對稱的兩條異面線段的中點與共線。
二、填空題
11．。提示：最小系數為。
12．。提示：，
13．11．提示：，，取。
14．。提示：由已知，，即，由線性規劃知識知，當，時達到最大值。
15．。提示：令，則，因為，所以
0
1
2
。
17．。提示：令，得；令，得；令，得；令，得；故。
三、解答題
18．解：（I）
――――7分
（II）因為為銳角，且，所以。――――9分
――14分
19．解：（I）因為平面，
所以平面平面，
又，所以平面，
得，又
所以平面；――――4分
（II）因為，所以四邊形為
菱形，
故，又為中點，知。
取中點，則平面，從而面面，
過作于，則面，
在中，，故，
即到平面的距離為。――――9分
（III）過作于，連，則，
從而為二面角的平面角，
在中，，所以，
在中，，
故二面角的大小為。14分
解法2：（I）如圖，取的中點，則，因為，
所以，又平面，
以為軸建立空間坐標系，
則，，，
，，
，由，知，
又，從而平面；――――4分
（II）由，得。
設平面的法向量為，，，所以
，設，則
所以點到平面的距離。――9分
（III）再設平面的法向量為，，，
所以
，設，則，
故，根據法向量的方向，
可知二面角的大小為。――――14分
20．解：（I）設，則，因為 ，可得；又由，
可得點的軌跡的方程為。――――6分（沒有扣1分）
（II）假設存在直線，代入并整理得
，――――8分
設，則 ――――10分
又
，解得或――――13分
特別地，若，代入得，，此方程無解，即。
綜上，的斜率的取值范圍是或。――――14分
21．解：（I）
（1）當時，函數是增函數，
此時，，
，所以；――2分
（2）當時，函數是減函數，此時，，
，所以；――――4分
（3）當時，若，則，有；
若，則，有；
因此，，――――6分
而，
故當時，，有；
當時，，有；――――8分
綜上所述：。――――10分
（II）畫出的圖象，如右圖。――――12分
數形結合，可得。――――14分
22．解: (Ⅰ)先用數學歸納法證明,.
（1）當n=1時,由已知得結論成立;
（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,
因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數.
又f(x)在上連續,所以f(0)<f()<f(1),即0<.
故當n=k+1時,結論也成立. 即對于一切正整數都成立.――――4分
又由, 得,從而.
綜上可知――――6分
(Ⅱ)構造函數g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
由,知g(x)在(0,1)上增函數.
又g(x)在上連續,所以g(x)>g(0)=0.
因為,所以,即>0,從而――――10分
(Ⅲ) 因為 ,所以, ,
所以 ――――① , ――――12分
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因為, n≥2,
所以 <<=――――② . ――――14分
由①② 兩式可知: .――――16分
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，數列
，滿足0＜
＜1，
，數列
滿足
，
的單調區間；
＜
＜1；
且＜
，則當n≥2時，求證：
＞
，bn+1≥
（n+1）bn，n∈N*．求證：
，則當n≥2時，bn＞an•n!．
。
可知
為
一條對稱軸。
種選法.其概率為
代入
得
，記
，
，
，
，
。
，顯然，
，由于
在
上是增函數，且
，
，所以
。
作
的平行線
，則
對稱的兩條異面線段的中點與
。提示：最小系數為
。
。提示：
，
，
，取
。
。提示：由已知，
，即
，由線性規劃知識知，當
，
時
達到最大值
。提示：令
，則
，因為
，所以
。
。提示：令
，得
；令
，得
；令
，得
；令
，得
；故
――――7分
為銳角，且
，所以
。――――9分
――14分
19．解：（I）因為
平面
，
平面
，所以
平面
，
，又
平面
；――――4分
，所以四邊形
，又
為
中點，知
。
中點
，則
平面
，從而面
面
作
于
，則
面
，
中，
，故
，
到平面
于
，連
，則
，
為二面角
的平面角，
中，
，所以
，
中，
，
故二面角
。14分
，則
，因為
，又
為
軸建立空間坐標系，
，
，
，
，
，
，
，
，由
，知
，
，得
。
，
，
，所以
，設
，則
到平面
。――9分
，
，
，設
，
，根據法向量的方向，
。――――14分
，則
，因為
，可得
；又由
，
。――――6分（沒有
扣1分）
，代入
并整理得
，――――8分
，則
――――10分
，解得
或
――――13分
，代入
，此方程無解，即
的斜率的取值范圍是
時，函數
是
增函數，
，
，所以
；――2分
時，函數
，
，所以
；――――4分
時，若
，則
，有
；
，則
，有
；
，――――6分
，
時，
；
時，
；――――8分
綜上所述：
。――――10分
的圖象，如右圖。――――12分
。――――14分
,
.
.則當n=k+1時,
,所以f(x)在(0,1)上是增函數.
上連續,所以f(0)<f(
)<f(1),即0<
. 
,從而
.
――――6分
-f(x)= 
, 0<x<1,
,知g(x)在(0,1)上增函數.
,即
>0,從而
――――10分
,所以
,
, 
――――① , ――――12分
知:
, 所以
=
,
, n≥2, 
<
<
=
――――② . ――――14分
.――――16分