題目列表(包括答案和解析)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
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【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),
,P(0,0,2).
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(1)證明:易得
,
于是
,所以![]()
(2)
,
設平面PCD的法向量
,
則
,即
.不防設
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為
.
(3)設點E的坐標為(0,0,h),其中
,由此得
.
由
,故
所以,
,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由
,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
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(2)如圖,作
于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此
,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,![]()
因此
所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為
,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故![]()
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在
中,由
,
,![]()
可得
.由余弦定理,
,
所以
.
如圖,三棱錐
中,側面
底面
,
,且
,
.(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)若
為側棱PB的中點,求直線AE與底面
所成角的正弦值.
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【解析】第一問中,利用由
知,
,
又AP=PC=2,所以AC=2
,
又AB=4, BC=2
,,所以
,所以
,即
,
又平面
平面ABC,平面
平面ABC=AC,
平面ABC,
平面ACP,所以
第二問中結合取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證
平面ABC,又EH//PO,所以EH平面
ABC ,
則
為直線AE與底面ABC 所成角,
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解
(Ⅰ) 證明:由用由
知,
,
又AP=PC=2,所以AC=2
,
又AB=4, BC=2
,,所以
,所以
,即
,
又平面
平面ABC,平面
平面ABC=AC,
平面ABC,
平面ACP,所以![]()
………………………………………………6分
(Ⅱ)如圖, 取AC中點O,連接PO、OB,并取OB中點H,連接AH、EH,
因為PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證
平面ABC,
又EH//PO,所以EH平面
ABC ,
則
為直線AE與底面ABC 所成角,
且
………………………………………10分
又PO=1/2AC=
,也所以有EH=1/2PO=
,
由(Ⅰ)已證
平面PBC,所以
,即
,
故
,
于是![]()
所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為![]()
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如圖,在三棱柱
中,
側面
,
為棱
上異于
的一點,
,已知
,求:
(Ⅰ)異面直線
與
的距離;
(Ⅱ)二面角
的平面角的正切值.
【解析】第一問中,利用建立空間直角坐標系
解:(I)以B為原點,
、
分別為Y,Z軸建立空間直角坐標系.由于,![]()
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在三棱柱
中有
,
設![]()
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又
側面
,故
. 因此
是異面直線
的公垂線,則
,故異面直線
的距離為1.
(II)由已知有
故二面角
的平面角
的大小為向量
與
的夾角.
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| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E∈BB1,截面A1EC⊥側面AC1.
(Ⅰ)求證:BE=EB1;
(Ⅱ)若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數.
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注意:在下面橫線上填寫適當內容,使之成為(Ⅰ)的完整證明,并解答(Ⅱ).
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(Ⅰ)證明:在截面A1EC內,過E作EG⊥A1C,G是垂足.
① ∵
∴EG⊥側面AC1;取AC的中點F,連結BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,
② ∵
∴BF⊥側面AC1;得BF∥EG,BF、EG確定一個平面,交側面AC1于FG.
③ ∵
∴BE∥FG,四邊形BEGF是平行四邊形,BE=FG,
④ ∵
∴FG∥AA1,△AA1C∽△FGC,
⑤ ∵
即
,故![]()
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